Question

I) Determine a matriz característica de A e o polinômio característico de A.
a) A= [ 4 -1 / 2 1 ] b) A= [ 0 -1 / 1 0 ]

II) Seja A= [ 1 -2 8 / 0 -1 0 / 0 0 -1]
a) A ^100 b) A^-1321 c) A^-100

Answer 1

1) O polinômio característico é calculado da seguinte forma:

p(x) = det(x.I₂ - A)

sendo I₂ a matriz identidade de ordem 2.

Então,

a) $A = \left[\begin{array}{ccc}4&-1\\2&1\end{array}\right]$.

Daí,

$x.I_2-A =\left[\begin{array}{ccc}x&0\\0&x\end{array}\right] - \left[\begin{array}{ccc}4&-1\\2&1\end{array}\right]$

$x.I_2-A = \left[\begin{array}{ccc}x-4&1\\-2&x-1\end{array}\right]$

Portanto,

p(x) = det(x.I₂ - A) = (x - 4)(x - 1) + 2 = x² - 5x + 6

b) $B = \left[\begin{array}{ccc}0&-1\\1&0\end{array}\right]$

Daí, da mesma forma do item anterior:

$x.I_2 - B = \left[\begin{array}{ccc}x&1\\-1&x\end{array}\right]$

Portanto,

p(x) = det(x.I₂ - B) = x² + 2

2) Seja $A = \left[\begin{array}{ccc}1&-2&8\\0&-1&0\\0&0&-1\end{array}\right]$.

Calculando o polinômio característico:

$x.I_3-A = \left[\begin{array}{ccc}x-1&2&-8\\0&x+1&0\\0&0&x+1\end{array}\right]$

p(x) = det(x.I₃ - A) = (x - 1)((x + 1)(x + 1)) = (x - 1)(x + 1)²

Logo, os autovalores são λ₁ = 1 e λ₂ = -1

λ₁ = 1

$\left[\begin{array}{ccc}0&2&-8\\0&2&0\\0&0&2\end{array}\right]$

Podemos concluir que y = z = 0.

Portanto, uma base é: β₁ = {(1,0,0)}

λ₂ = -1

$\left[\begin{array}{ccc}-2&2&-8\\0&0&0\\0&0&0\end{array}\right]$

Então, temos que -2x + 2y - 8z = 0 ∴ -x + y - 4z = 0 ∴ x = y - 4z.

Logo,

(y - 4z,y,z) = y(1,1,0) + z(-4,0,1)

Assim, uma base é:

β₂ = {(1,1,0),(-4,0,1)}

Portanto,

$P=\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\1&1&0\\-4&0&1\end{array}\right]$ e $D = \left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{array}\right]$

Para calcular a potência de uma matriz temos que fazer o seguinte cálculo:

$A^n = P.D^n.P^{-1}$

Logo,

a) $A^{100} = P.\left[\begin{array}{ccc}1^{100}&0&0\\0&(-1)^{100}&0\\0&0&(-1)^{100}\end{array}\right].P^{-1}$

$A^{100} = P.\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right].P^{-1}$

b) $A^{-1321} = P.\left[\begin{array}{ccc}1^{-1321}&0&0\\0&(-1)^{-1321}&0\\0&0&(-1)^{1321}\end{array}\right] . P^{-1}$

$A^{-1321} = P.\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{array}\right].P^{-1}$

c) $A^{-100} = P.\left[\begin{array}{ccc}1^{-100}&0&0\\0&(-1)^{-100}&0\\0&0&(-1)^{-100}\end{array}\right]. P^{-1}$

$A^{-100} = P.\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right] .P^{-1}$