Question

(I) Calcule, pela defini¸c˜ao, os seguintes logaritmos:
(a) log4 16 (b) log3
1
9
(c) log27 81 (d) log 1
4
32 (e) log25 0, 008
(II) O logaritmo de um n´umero na base 16 ´e 2
3
. Calcule o logaritmo desse n´umero na base 1
4

Answer 1

(I) Calcule, pela definição, os seguintes logaritmos:

(a) log₄ 16 = x ⇔ 4ˣ = 16

                           4ˣ = 4²

                            x = 2

(b) log₃ 9 = x ⇔ 3ˣ = 9

                          3ˣ = 3²

                           x = 2

(c) log₂₇ 81 = x ⇔ 27ˣ = 81

                             (3³)ˣ = 3⁴

                              3³ˣ = 3⁴

                               3x = 4

                                 x = ³/₄

(d) log₄ 32 = x ⇔ 4ˣ = 32

                            (2²)ˣ = 2⁵

                              2²ˣ = 2⁵

                               2x = 5

                                 x = ⁵/₂

(e) log₂₅ 0,008 = x ⇔ 25ˣ = 0,008

$25^{x}=0,008\\\\(5^{2})^{x}=\frac{8}{1000}\\\\5^{2x}=\frac{2^{3}}{10^{3}}\\\\5^{2x}=(\frac{2}{10})^{3}\\\\5^{2x}=(\frac{1}{5})^{3}\\\\5^{2x}=5^{-3}\\\\2x=-3\\\\x=-\frac{3}{2}$

(II) O logaritmo de um número na base 16 é 23. Calcule o logaritmo desse número na base 4.

$log_{16}x=23$ ⇔ $16^{23}=x$

$log_{4}x=y$ ⇔ $4^{y}=x$

$4^{y}=16^{23} \\\\4^{y}=(4^{2})^{23}\\\\4^{y}=4^{46}\\\\y=46$