Question

Help!! Peço Ajuda dos universitários. (Foto da prova anexa)
O teorema fundamental do cálculo é a base das duas operações centrais do cálculo, diferenciação e integração, que são considerados como inversos um
do outro. Isto significa que, se uma função contínua é primeiramente integrada e depois diferenciada (ou vice-versa), volta-se na função original. Sobre
as integrais imediatas, classifique V para as opções verdadeiras e F para as falsas, e depois assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
ſx"dx = * +1+c
a sen(x)dx = -cos (x) +C
sen(x) dx = cos(x) + C
ole* dx = x+C
OOOO
a) F-V-V-F.
b) V-V-F-F.
c) V-V-F-V.
d) V-F-V-V.​

Answer 1

Resposta:

Olá,

Explicação passo-a-passo:

1º Verdadeira

2º  Verdadeira

3º Falsa

4º Falsa

Temos, na respectiva ordem, que a alternativa b) é a correta.

Answer 2

Resposta:

b) V-V-F-F

Explicação passo-a-passo:

*Analisando a primeira afirmativa:

$\int\limits {x^{n} } \, dx =\frac{x^{n+1} }{n+1}$

[Sabemos que a função integral é a função inversa da derivada, isso significa que $f(x)=\int\limits{f'(x)} \, dx$. Ou seja, se nós temos que se $g(x)=\frac{x^{n+1} }{n+1}+c$ for integral de $f(x)=x^{n}$, a derivada de $g(x)$ tem que ser igual à $f(x)$, ou seja, $g'(x)=f(x)$. Em outras palavras, se nós calcularmos a derivada de $\frac{x^{n+1} }{n+1}+c$ e ela for igual à $x^{n}$, quer dizer que $\frac{x^{n+1} }{n+1}+c$ é integral de $x^{n}$.

Calculando a derivada de $g(x)$...

$g(x)=\frac{x^{n+1} }{n+1}+c\\g'(x)=(\frac{x^{n+1} }{n+1}+c)'\\g'(x)=\frac{1}{n+1}.(x^{n+1)})'+c'\\ g'(x)=\frac{1}{n+1}.((n+1)x^{n+1-1})\\ g'(x)=\frac{1}{n+1}.(n+1)x^{n} \\g'(x)=\frac{n+1}{n+1}.x^{n}\\ g'(x)=x^{n}=f(x)$

Como mostramos que $g'(x)=f(x)$, significa que $g(x)$ é de fato integral de $f(x)$. Logo a primeira afirmativa é verdadeira (V)

*Analisando segunda afirmativa:

$\int\limits{senx} \, dx=-cosx+c$

[Nessa afirmativa vamos utilizar a mesma lógica da primeira, ou seja, se $g(x)=-cos+c$ for integral de $f(x)=senx$, vai implicar que $g'(x)=f(x)$.]

Calculando a derivada de $g(x)$...

$g(x)=-cosx+c\\g'(x)=(-cosx+c)'\\g'(x)=(-cosx)'+c'\\g'(x)=(-1).(cosx)'\\g'(x)=(-1).(-senx)\\g'(x)=senx$

Como mostramos que $g'(x)=f(x)$, significa que $g(x)$ é de fato integral de $f(x)$. Logo a primeira afirmativa é verdadeira (V)

*Analisando terceira afirmativa:

$\int\limits{senx} \, dx=cosx+c$

[Como mostramos na afirmativa acima que $\int\limits{senx} \, dx =-cosx+c$, já fica claro que essa alternativa está incorreta, afinal uma função não assume duas integrais distintas, mas só para mostrar que de fato essa alternativa é falsa vou mostrar sem muitos detalhes.]

[Se $g(x)=cos+c$ for integral de $f(x)=senx$, isso implicar que $g'(x)=f(x)$.]

Calculando a derivada de $g(x)$...

$g(x)=cosx+x\\g'(x)=(cosx+c)'\\g'(x)=(cosx)'+c'\\g'(x)=-senx$

Como mostramos que $g'(x)\neq f(x)$, $g(x)$ não é integral de $f(x)$. Logo esta afirmativa é falsa (F).

*analisando quarta afirmativa:

$\int\limits{e^{x} } \, dx=x+c$

[Se $g(x)=x+c$ for integral de $f(x)=e^{x}$, isso implicar que $g'(x)=f(x)$.]

Calculando a derivada de $g(x)$...

$g(x)=e^{x} +c\\g'(x)=(e^{x} +c)'\\g'(x)=(e^{x})'+c'\\g'(x)=e^{x}$

Como mostramos que $g'(x)\neq f(x)$, $g(x)$ não é integral de $f(x)$. Logo esta afirmativa é falsa (F).

Espero ter ajudado com a explicação... Bons estudos!!