Matemática, perguntado por Srrevival, 10 meses atrás

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Os números a, b e c são raízes do polinômio p(x) = x³ - x² - 4x + 4. Nessas condições, calcule o valor de:
1/a+1/b+1/c

Soluções para a tarefa

Respondido por CyberKirito
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 \frac{1}{a} +  \frac{1}{b} +  \frac{1}{c}  =  \frac{bc + ac + ab}{abc} \\  =  \frac{ \frac{  - (- 4)}{1} }{ \frac{ - 4}{1} }  =  \frac{4}{ - 4 }  =  - 1

Anexos:
Respondido por Vulpliks
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As raízes do polinômio são os valores de x para os quais o polinômio é nulo, ou, graficamente, os pontos onde o gráfico corta o eixo x.

Como é um polinômio de 3° grau, a forma mais fácil de encontrar as três raízes é primeiro estimando uma delas e após encontrando as outras duas através da equação do 2° grau.

Se você tentar x = 1, perceba que o polinômio se anula: 1^3 - 1^2 - 4 \cdot 1 + 4 = 1 - 1 - 4 + 4 = 0 . Ou seja, x = 1 é uma das raízes.

Agora, um polinômio pode ser escrito em função de suas raízes:

p(x) = (x - r_1) \cdot (x - r_2) \cdot \cdot \cdot (x - r_n)

Como uma raíz já é conhecida, podemos utilizar este método para descobrir as outras duas:

p(x) = (x-a) \cdot (x - b) \cdot (x - 1)

Onde a e b são as duas raízes desconhecidas.

Expandindo:

p(x) = (x^2 - (a + b) \cdot x + a \cdot b) \cdot (x - 1)

p(x) = x^3 - (a+b+1) \cdot x^2 + (a + b + a \cdot b) \cdot x - a\cdot b

Agora perceba que o polinômio original é:

p(x) = x^3 - x^2 - 4 \cdot x + 4

Comparando os dois polinômios, temos que, para que eles sejam iguais:

\[\begin{cases} a+b+1 = 1\\ a + b + a \cdot b = -4\\- a \cdot b = 4\end{cases}\]

Começando pela primeira linha temos que:

a + b = 1 - 1 = 0

Assim:

a = -b

Agora, na terceira linha, se substituirmos a por -b:

-(-b) \cdot b = 4

Logo:

b^2 = 4

b = \pm 2

E assim sendo:

a = \mp 2

Ou seja, as raízes são: a = 2\text{, }b = -2\text{ e }c = 1

Precisamos calcular:

x = \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}

x = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{1}

\boxed{x = 1}

Em anexo, plotei o gráfico da função para confirmar as raízes.

Anexos:
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