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Os números a, b e c são raízes do polinômio p(x) = x³ - x² - 4x + 4. Nessas condições, calcule o valor de:
1/a+1/b+1/c
Soluções para a tarefa
As raízes do polinômio são os valores de x para os quais o polinômio é nulo, ou, graficamente, os pontos onde o gráfico corta o eixo x.
Como é um polinômio de 3° grau, a forma mais fácil de encontrar as três raízes é primeiro estimando uma delas e após encontrando as outras duas através da equação do 2° grau.
Se você tentar x = 1, perceba que o polinômio se anula: . Ou seja, x = 1 é uma das raízes.
Agora, um polinômio pode ser escrito em função de suas raízes:
Como uma raíz já é conhecida, podemos utilizar este método para descobrir as outras duas:
Onde a e b são as duas raízes desconhecidas.
Expandindo:
Agora perceba que o polinômio original é:
Comparando os dois polinômios, temos que, para que eles sejam iguais:
Começando pela primeira linha temos que:
Assim:
Agora, na terceira linha, se substituirmos a por -b:
Logo:
E assim sendo:
Ou seja, as raízes são:
Precisamos calcular:
Em anexo, plotei o gráfico da função para confirmar as raízes.