Matemática, perguntado por Marcelahe, 10 meses atrás

HELP Determine as raízes da equação 2x2 - 3x - 5 = 0 * a) ( ) x´ = 5/2 e x´´ = 1 b) ( ) x´ = 5 e x´´ = 1 c) ( ) x´ = 1 e x´´ = 1 d) ( ) x´ = 5/2 e x´´ = -1

Soluções para a tarefa

Respondido por viniciusszillo

Olá! Segue a resposta com algumas explicações.

(I)Sabendo-se que uma equação do segundo grau é uma igualdade do tipo ax²+bx+c=0 (com a necessariamente diferente de zero, caso contrário, o termo ax² zeraria e ter-se-ia uma equação do primeiro grau), inicialmente, para melhor entendimento das demais etapas da resolução, pode-se proceder à determinação dos coeficientes por meio de comparação entre a equação fornecida e a forma genérica da equação do segundo grau:

2.x² - 3.x - 5 = 0

a.x² + b.x + c = 0

Coeficientes: a = 2, b = (-3), c = (-5)

(II)Cálculo do discriminante (Δ), que é valor que diz o número de raízes e se elas estão no conjunto dos números reais ou no dos complexos, utilizando-se dos coeficientes:

Δ = b² - 4 . a . c

Δ = (-3)² - 4 . (2) . (-5) ⇒

Δ = 9 - 4 . (2) . (-5) ⇒

Δ = 9 - 8 . (-5) ⇒ (Veja a Observação abaixo.)

Δ = 9 + 40

Δ = 49

OBSERVAÇÃO: Na parte destacada, aplicou-se a regra de sinais da multiplicação: dois sinais iguais, +x+ ou -x-, resultam em sinal de positivo (+).

→Como o discriminante (Δ) resultou em um valor maior que zero, a equação 2x²-3x-5=0 terá duas raízes diferentes e pertencentes ao conjunto dos números reais.

(III)Aplicação da fórmula de Bhaskara, utilizando-se dos coeficientes e do discriminante:

x = (-b ± √Δ) / 2 . a ⇒

x = (-(-3) ± √49) / 2 . (2) ⇒

x = (3 ± 7) / 4 ⇒

x' = (3 + 7)/4 = 10/4 (Dividem-se ambos por 2.) ⇒ x' = 5/2

x' = (3 - 7)/4 = -4/4 ⇒ x'' = -1

Resposta: As raízes da equação são -1 e 5/2. (ALTERNATIVA D.)

Outras maneiras, porém mais formais, de indicar a resposta:

S={x E R / x = -1 ou x = 5/2} (Leia-se "o conjunto-solução é x pertence ao conjunto dos números reais, tal que x é igual a menos um ou x é igual a cinco meios") ou

S={-1, 5/2} (Leia-se "o conjunto solução é constituído pelos elementos menos um e cinco meios".)

=====================================================

VERIFICAÇÃO (PROVA REAL) DE QUE A RESPOSTA ESTÁ CORRETA

→Substituindo x = -1 na equação fornecida no exercício, verifica-se que a igualdade será mantida, confirmando-se que esta é uma das raízes da equação:

2x² - 3x - 5 = 0

2 . (-1)² - 3 . (-1) - 5 = 0

2 . (-1)(-1) - 3 . (-1) - 5 = 0

2 . 1 + 3 - 5 = 0

2 + 3 - 5 = 0

5 - 5 = 0

0 = 0 (Provado que x = -1 é solução (raiz) da equação.)

→Substituindo x = 5/2 na equação fornecida no exercício, verifica-se que a igualdade será mantida, confirmando-se que esta é uma das raízes da equação:

2x² - 3x - 5 = 0

2 . (5/2)² - 3 . (5/2) - 5 = 0

2 . (5/2)(5/2) - 3 . (5/2) - 5 = 0

2 . (25/4) - (15/2) - 5 = 0

1 . (25/2) - (15/2) - 5 = 0

(25/2) - (15/2) - 5 = 0 (O m.m.c entre 1 e 2 é 2.)

(25 - 15 - 10)/2 = 0

(25 - 25)/2 = 0

0/2 = 0

0 = 0 (Provado que x = 5/2 é solução (raiz) da equação.)

→Veja outras tarefas sobre equação do segundo grau e resolvidas por mim: