Question

Hello! (>..<)/ Estou com uma dúvida nessa questão. Aparentemente ela está modificada, pois ao procurá-la achei algumas parecidas, mas os valores estavam um pouco diferentes.

A figura a seguir representa duas árvores localizadas em lados opostos de um lago. O ângulo entre as linhas de visão de um observador que as vê é de 105° e o ângulo formado por uma dessas linhas e a linha que une as árvores é de 45°.
Sabendo que a terceira linha mede 100 m, qual é a distância entre as árvores?
a) 25×(1+√2)m
b)25×(1+√3)m
c)50×(1+√2)m
d)50×(1+√3)m
e)75×(1+√2)m

Minha Resolução (ou está incompleta ou errei >_<):
1°)Lei dos Senos

$x/sen105°=100/sen45°$
$x/sen(45°+60°)=100/sen45°$

Daí faz sen(45°+60°)= sen45°×cos60°+sen60°×cos45°

$x/3/2=100/ \sqrt{2}/2$

Para facilitar corta os 2 de baixo, enton:

$x \sqrt{2} =300$
$x=300/ \sqrt{2}$ racionaliza e divide 300 por 2
$x=150 \sqrt{2}$

Só que não tem resposta ¬¬'

Answer 1

Vamos lá:

Lei dos Senos:
$\boxed{\frac{100}{sen45}=\frac{y}{sen105}}$
$100*sen105=y*sen45$

Aparte:
$sen105=sen(45+60)$
$sen(45+60)=sen45*cos60+sen60*cos45$
$\boxed{sen(45+60)=\frac{\sqrt{2}}{2}*\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}*\frac{\sqrt{2}}{2}}$
$\boxed{sen(45+60)=\frac{\sqrt{2}}{4}+\frac{\sqrt{6}}{4}}$
$\boxed{sen(45+60)=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}}$
$\boxed{sen105=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}}$

$100*sen105=y*sen45$
$\boxed{100*\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}=y*\frac{\sqrt{2}}{2}}$
$\boxed{\frac{100(\sqrt{2}+\sqrt{6})}{4}=y*\frac{\sqrt{2}}{2}}$
$\boxed{\frac{2*100(\sqrt{2}+\sqrt{6})}{4}=y*\sqrt{2}}$
$\boxed{\frac{1*100(\sqrt{2}+\sqrt{6})}{2}=y*\sqrt{2}}$
$\boxed{50(\sqrt{2}+\sqrt{6})=y*\sqrt{2}}$
$\boxed{\frac{50(\sqrt{2}+\sqrt{6})}{\sqrt{2}}=y}$

Racionalizando:
$\boxed{\frac{50(\sqrt{2}+\sqrt{6})}{\sqrt{2}}*\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=y}$
$\boxed{\frac{50\sqrt{2}(\sqrt{2}+\sqrt{6})}{2}=y}$
$\boxed{25\sqrt{2}(\sqrt{2}+\sqrt{6})=y}$
$\boxed{25\sqrt{2}*\sqrt{2}+25\sqrt{2}*\sqrt{6}=y}$
$\boxed{25*\sqrt{2^2}+25\sqrt{12}=y}$
$\boxed{25*\sqrt{2^2}+25\sqrt{2^2*3}=y}$
$\boxed{25*2+25*2\sqrt{3}=y}$
$\boxed{50+50\sqrt{3}=y}$
$\boxed{\boxed{Resposta:y=50(1+\sqrt{3})m}}$