Question

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Utilizando o método de Cremer resolva os sistemas a seguir;
A)$\left \{ {{12r+3y=15} \atop{ {2x-3y=13}} \right.$
B)$\left \{ {{x+y+z=6} \atop {4x+2y-z=5}} \right \atop {x+2y+3z=13} \right.$

Answer 1

Resposta:

A ) x = 2    y = - 3

B ) x = 4     y = - 3     z = 5

Explicação passo a passo:

A)

{ $12x + 3y = 15$

{ $2x - 3y = 13$

1ª etapa

Calcular o determinante da matriz dos coeficientes .

M = $\left[\begin{array}{ccc}12&3\\2&-3\end{array}\right]$

Det = (12 * ( - 3 ) ) - ( 3 * 2 ) = - 36 - 6 = - 42

2 ª etapa

Substituir  a 1ª coluna ( relativa à variável "x" ), pela coluna dos termos

independentes

$M_{x} = \left[\begin{array}{ccc}15&3\\13&-3\end{array}\right]$

Determinante em x  ( $D_{x}$ )

= (15 * ( -3 )) - ( 3 * 13 ) = - 45 - 39 = - 84

3ª etapa

Substituir  a 2ª coluna ( relativa à variável "y" ), pela coluna dos termos

independentes

Determinante em y ( $D_{y}$ )

= (12 * 13) - ( 15 * 2 ) =  156 - 30 = 126

4ª etapa

Calcular o valor de x e o do  , pela regra de Cramer

$x=\dfrac{Dx}{D} =\dfrac{-84}{-42} =2$

$y= \dfrac{Dx}{D} = \dfrac{126}{-42}=-3$

Verificação

1ª equação

12 * 2 - 3 * 3 = 15

24 - 9 = 15

15 = 15      verificado e correto

2ª equação

2 * 2 - 3 * ( - 3 ) = 13

4 + 9 = 13

13 = 13        verificado e correto

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B )

{   x  +  y + z    = 6

{ 4x + 2y - z    = 5

{   x + 2y + 3 z = 13

 

$\left[\begin{array}{ccc}1&1&1\\4&2&-1\\1&2&3\end{array}\right]$

1ª etapa

Pela regra de Sarrus, acrescentar as duas primeiras colunas ao lado direito da matriz

1     1      1 |   1     1

4    2   - 1 |   4    2

1    2     3 |   1    2

D = ( 1 * 2 * 3 ) + ( 1 * ( - 1 ) * 1 ) + ( 1 * 4 * 2 ) - (1 * 2 * 1 ) - ( 1 * (- 1 ) * 2) - ( 1* 4 * 3 )

D = 6 - 1 + 8 - 2 + 2 - 12 = 16 - 15 = 1

2 ª etapa    Determinante em x

6     1      1  |   6      1

5     2   - 1  |   5      2

13     2     3 |   13    2

$D_{x}$ = ( 6 * 2 * 3) + ( 1 * ( - 1 ) * 13 )  + (1 * 5 * 2 ) - (  1 * 2 * 13 ) -  ( 6 * ( -1 ) * 2 ) -

- ( 1 * 5 * 3 )

Dx =  36 - 13 + 10 - 26 + 12 - 15 = 58 - 54 = 4

3 ª etapa    Determinante em y

1     6     1 |   1     6

4    5   - 1 |   4    5

1   13     3 |   1    13

Dy = 15 - 6 + 52 - 5 + 13 - 72 = 80 - 83  = - 3

4 ª etapa    Determinante em z

1     1      6 |   1     1

4    2     5 |   4    2

1    2    13 |   1    2

Dz =  + 26 + 5 + 48 - 12 - 10 - 52 = 79 - 74 = 5

5ª etapa  

Determinação das raízes

x =  4 / 1 =  4

y =  - 3 / 1 = - 3

z = 5 / 1 = 5

x = 4     y = - 3     z = 5

Verificação

1ª equação

4 - 3 + 5 = 6

9 - 3 = 6

6 = 6         verificado e correto

2ª equação

4 * 4 + 2 * ( - 3 ) - 5 = 5

16 - 6 - 5 = 5

16 - 11 = 5

5 = 5              verificado e correto

3 ª equação

4 + 2 * ( - 3 ) + 3 * 5 = 13

4 - 6 + 15 = 13

19 - 6 = 13

13 = 13                  verificado e correto

Bons estudos.

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( * ) multiplicação       ( / )  divisão