Question

Há três pilhas de latas. A primeira possui 3, nas quais duas embaixo e uma em cima. A segunda possui seis, nas quais são 3 em baixo, 2 no meio e 1 em cima. A última, por sua vez, tem 10 nas quais 4 embaixo, 3 no meio (de baixo), 2 no meio (de cima) e uma no topo.
QUESTÃO 1.
Quantas latas são necessárias para construir uma pilha com seu tamanho de 5 latas de altura?
A) 5
B) 10
C) 15
D) 20
E) 25
QUESTÃO 2.
Quanta latas são necessárias para construir uma pilha de latas que meça 17 latas de altura?
A) 87
B) 105
C) 97
D) 135
E) 153
QUESTÃO 3. Se há 69 latas disponíveis, qual a altura em latas, da maior pilha possível?
A) 11 latas de altura
B) 13 latas de altura
C) 15 latas de altura
D) 17 latas de altura
E) 19 latas de altura

Answer 1

Observamos que em todas os casos existem sequências.
A primeira pilha possui 3 latas, 2 na base e 1 em cima.
A segunda possui 6 latas, 3 na base, 2 no meio e uma em cima.
A última possui 10 latas, 4 na base, 3 na segunda camada, 2 na terceira camada e 1 lata no topo.
Em todos os casos existe 1 lata no topo da pilha e a diferença entre uma camada e a anterior é igual a -1.
As camadas são sequências numéricas que são PA's (progressões aritméticas), onde o último termo an=1 e a razão r é igual a -1. O número de camadas é igual a n (número de termos da PA). O total de latas de cada pilha é igual a soma dos termos Sn da PA.
Outra particularidade observada é que a primeira camada possui um número de latas igual a altura da pilha correspondente.

Questão 1
5 latas de altura
n=5
an=1
Sn=?

an=a1+(n-1).r
1=a1+(5-1).(-1)
1=a1+4.(-1)
1=a1-4
a1=1+4
a1=5

Sn=(a1+an).n/2
S5=(5+1).5/2
S5=6.5/2
S5=30/2
S5=15

Alternativa "C"

Questão 2
17 latas de altura
n=17
an=1
Sn=?

an=a1+(n-1).r
1=a1+(17-1).(-1)
1=a1+16.(-1)
1=a1-16
a1=1+16
a1=17

Sn=(a1+an).n/2
S5=(17+1).17/2
S5=18.17/2
S5=306/2
S5=153

Alternativa "E"

Questão 3
Sn=69
an=1
n=?

Observamos que o número de latas que está na base é sempre igual ao número de camadas da pilha de latas, então n= an.

Sn=(a1+an).n/2
69=(n+1).n/2
138=(n+1).n
138=n²+n
n²+n-138=0
a=1
b=1
c=-138

Δ = b² - 4.a.c
Δ = 1² - 4 . 1 . (-138)
Δ = 1 + 552
Δ = 553

n= -b ± √Δ ÷ 2a
n= -1 ± √553 ÷ 2.1
n'= -1 + √553 ÷ 2
n'= -1 + 23,51/2
n'=~ 22,51/2
n'=~ 11,25

n"= -1 - √553 ÷ 2
n"= -1 - 23,51/2
n'=~ -24,51/2
n'=~ -12,25

n=~11,25 pois o número de camadas da pilha de latas é um número positivo.

Devemos considerar também que o altura deve ser um número inteiro.
S11=(11+1).11/2
S11=12.11/2
S11=66
Com uma altura igual a 11 latas utilizaremos 66 latas e sobrarão 3.

S12=(12+1).12/2
S12=13.12/2
S12=78
Se fizermos 12 latas de altura o número de latas necessárias ultrapassa o número de latas disponíveis (69).

A maior altura de latas (camadas) será 11.

Alternativa "A".