Question

Há 20 bolas em uma caixa, 4 azuis, 4 brancas, 6 vermelhas e 6 pretas. São retiradas uma a uma, sem reposição, até que é retirada uma bola branca, e termina-se o processo de retirada. Qual é a probabilidade de que seja retirada pelo menos uma bola preta antes de uma branca?

Answer 1

Vamos lá!

Vemos que, não nos importa, se foi tirada anteriormente uma bola vermelha ou azul, apenas importa a sequência 1° bola ser preta e a 2° ser branca. Então ignoraremos as bolas vermelhas e azuis.

Tendo tirado uma bola preta, nos restam 5 bolas pretas e 4 brancas. Assim, representando (0') como as bolas pretas e 0" como as bolas brancas, teremos o seguinte enquadramento.

$\Large{Bola\:preta\:retirada\Longleftarrow\:0'}\\\\\\\Large{Bolas\:restantes.\Longleftarrow\:}\Large\text{\boxed{\boxed{ {(0')\:(0')\:(0')\:(0')\:(0')\:0"\:0"\:0"\:0"} }}}$

Assim, o evento a acontecer, estará pela permutação das bolas restantes, sobre as permutações das repetições de bolas pretas e de bolas brancas. Desse modo, o evento estará disposto da seguinte forma.

$\Large\text{ {Evento = \frac{9!}{5!\:\cdot\:4!} } }$

Portanto, ao analisar a quantidade de resultados possíveis, estaremos dispostos a observar a permutação das 10 bolas que estamos analisando, sobre as permutações das repetições (6 bolas pretas no total com as 4 bolas brancas). Por conta disso, a possibilidade de resultados estará disposta da seguinte forma:

$\Large\text{ {Possibilidade\:de\:resultados = \frac{10!}{6!\:\cdot\:4!} } }$

Agora, aplicando a clássica fórmula da probabilidade da razão da quantidade de eventos favoráveis pela possibilidade total de resultados, teremos a seguir:

$\Large\text{ {Probabilidade = \frac{Resultados\:favor\acute{a}veis}{Resultados\:poss\'{i}veis} } }$

$\Large\text{ {Probabilidade = \frac{\frac{9!}{5!\:\cdot\:4!}}{\frac{10!}{6!\:\cdot\:4!} } } }$

Apenas continue calculando a probabilidade:

$\Large\text{ {Probabilidade = \frac{\frac{9!}{5!\:\cdot\:4!}}{\frac{10!}{6!\:\cdot\:4!} } } }$

$\Large\text{ {Probabilidade = \frac{9!}{5!\:\cdot\:4!}}\:\cdot\:{\frac{6!\:\cdot\:4!}{10!} } }$

$\Large\text{ {Probabilidade = \frac{9!\:\cdot\:6\:\cdot\:5!}{5!\:\cdot\:10\:\cdot\:9!} } }$

$\Large\text{ {Probabilidade = \frac{6}{10} } }$

$\Large\text{ {Probabilidade = \frac{3}{5} } }\Large{\:\:\:\:\Longrightarrow\:\:Resposta.}$

Bons estudos.

Espero ter ajudado❤.