há 13 meses e dez dias, um capital de $10000 foi aplicado a taxa de juros simples de 6%a.a. Se hoje fosse aplicada a importância de $8000 a juros simples de 12%a.a., e o primeiro capital continuar aplicado à mesma taxa, em que prazo os montantes respectivos seriam iguais?
Soluções para a tarefa
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14
Essa questão é tranquila de resolver e a resposta NÃO É igual a 3000 dias! Então, vamos lá:
O problema começa com a constatação que "os montantes serão iguais", ou seja, se temos dois capitais envolvidos (10.000 e 8.000), seus montantes devem ser chamados de FV1 e FV2 (valor futuro 1 e valor futuro 2). Ou seja, FV1 = FV2.
Em juros simples, nós sabemos que FV = PV (1 + i*n)
Logo, se FV1 = FV2, temos que
PV1 * (1 + i1*n1) = PV2 * (1+ i2*n2)
ondem
PV1 = capital 1 -> 10.000
PV2 = capital 2 -> 8.000
i1 = taxa do primeiro capital -> 6% a.a.
i2 = taxa do segundo capital -> 12% a.a.
n1 = prazo do primeiro capital - 13 meses e 10 dias MAIS n dias
n2 = prazo do segundo capital - > n dias
Então, vamos aos números! Primeiro, geralmente é muito comum fazer confusão com taxas e prazos em unidades diferentes, logo, para não mexer na taxa, vamos levar tudo pra uma base anual.
Assim,
n1 = 13 meses e 10 dias (ou seja, 400 dias) MAIS n dias. Resumindo, n1 = (400 + n) dias.
Pra transformar tudo pra base anual, basta dividir por 360 (ano comercial), ou seja, n1 = (400 + n)/360
Já o prazo 2 (n2) é simplesmente de n dias. Mas temos que convertê-lo para anos, o que é feito dividindo-se n por 360 dias (ano comercial).
Assim, temos a igualdade
PV1 * (1 + i1*n1) = PV2 * (1+ i2*n2)
sendo calculada da seguinte maneira:
10.000 * [1 + 0,06 * ((400 + n)/360)] = 8.000 * (1 + 0,12 * (n/360)]
Logo, a única incógnita do problema é n, justamente o prazo em que os dois capitais se igualam.
Resolvendo por n temos:
10.000 * [1 + 0,06 * ((400 + n)/360)] = 8.000 * (1 + 0,12 * (n/360)]
10.000 * [1 + 0,06 * ((400/360) + (n/360))] = 8.000 * (1 + 0,12*n/360)
10.000 * (1 + 24/360 + 0,06*n/360) = 8.000 + 960*n/360 (após aplicar a propriedade distributiva)
10.000 * (1,066667 + 0,06*n/360) = 8.000 + 960*n/360
10,666,67 + 600*n/360 = 8.000 + 960*n/360
10.666,67 - 8.000 = 960*n/360 - 600*n/360
2.666,67 = (960-600)*n/360 (após colocar n/360 em evidência)
2.666,67 = 360*n/360
2.666,67 = n
Ou seja, n = 2.666,67 dias. Esse é o prazo correto, e não 3,000 como você havia dito
O problema começa com a constatação que "os montantes serão iguais", ou seja, se temos dois capitais envolvidos (10.000 e 8.000), seus montantes devem ser chamados de FV1 e FV2 (valor futuro 1 e valor futuro 2). Ou seja, FV1 = FV2.
Em juros simples, nós sabemos que FV = PV (1 + i*n)
Logo, se FV1 = FV2, temos que
PV1 * (1 + i1*n1) = PV2 * (1+ i2*n2)
ondem
PV1 = capital 1 -> 10.000
PV2 = capital 2 -> 8.000
i1 = taxa do primeiro capital -> 6% a.a.
i2 = taxa do segundo capital -> 12% a.a.
n1 = prazo do primeiro capital - 13 meses e 10 dias MAIS n dias
n2 = prazo do segundo capital - > n dias
Então, vamos aos números! Primeiro, geralmente é muito comum fazer confusão com taxas e prazos em unidades diferentes, logo, para não mexer na taxa, vamos levar tudo pra uma base anual.
Assim,
n1 = 13 meses e 10 dias (ou seja, 400 dias) MAIS n dias. Resumindo, n1 = (400 + n) dias.
Pra transformar tudo pra base anual, basta dividir por 360 (ano comercial), ou seja, n1 = (400 + n)/360
Já o prazo 2 (n2) é simplesmente de n dias. Mas temos que convertê-lo para anos, o que é feito dividindo-se n por 360 dias (ano comercial).
Assim, temos a igualdade
PV1 * (1 + i1*n1) = PV2 * (1+ i2*n2)
sendo calculada da seguinte maneira:
10.000 * [1 + 0,06 * ((400 + n)/360)] = 8.000 * (1 + 0,12 * (n/360)]
Logo, a única incógnita do problema é n, justamente o prazo em que os dois capitais se igualam.
Resolvendo por n temos:
10.000 * [1 + 0,06 * ((400 + n)/360)] = 8.000 * (1 + 0,12 * (n/360)]
10.000 * [1 + 0,06 * ((400/360) + (n/360))] = 8.000 * (1 + 0,12*n/360)
10.000 * (1 + 24/360 + 0,06*n/360) = 8.000 + 960*n/360 (após aplicar a propriedade distributiva)
10.000 * (1,066667 + 0,06*n/360) = 8.000 + 960*n/360
10,666,67 + 600*n/360 = 8.000 + 960*n/360
10.666,67 - 8.000 = 960*n/360 - 600*n/360
2.666,67 = (960-600)*n/360 (após colocar n/360 em evidência)
2.666,67 = 360*n/360
2.666,67 = n
Ou seja, n = 2.666,67 dias. Esse é o prazo correto, e não 3,000 como você havia dito
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