Question

Gostaria de uma ajuda com essa questão

Answer 1

Resposta:

Para calcularmos $\int\limits {x^3}e^x \, dx$ vamos usar o método de integração por partes (algumas vezes). A fórmula da integração por partes é:

$\int\limits{fg'} \, dx = fg - \int\limits {f'g} \, dx$

Vamos escolher nosso f e nosso g:

nosso f vai ser x³ pois é fácil de diferenciar, nosso g' vai ser $e^x$ pois $\frac{d}{dx} e^x = e^x$, então não vamos precisar integrar novamente. Substituindo temos:

$\int\limits {x^3e^x} \, dx = x^3e^x - \int\limits {3x^2e^x} \, dx$

Resolvendo $\int\limits {3x^2e^x} \, dx$:

$\int\limits {3x^2e^x} \, dx = 3\int\limits {x^2e^x}dx$

Vamos integrar por partes novamente:

$\int\limits {x^2e^x} \, dx = 2\int\limits {xe^x} \, dx$

Integrando por partes mais uma vez:

$\int\limits {xe^x} \, dx = xe^x - \int\limits {e^x} \, dx$

Sabemos que a integral de $e^x$ é o próprio $e^x$.

Agora é só substituir:

$2\int\limits {xe^x} \, dx = 2xe^x - 2e^x\\\\x^2e^x-\int\limits {2xe^x} \, dx = x^2e^x-2xe^x+2e^x\\\\3\int\limits {x^2e^x} \, dx = 3x^2e^x - 6xe^x + 6e^x\\\\x^3e^x - \int\limits {3x^2e^x} \, dx = x^3e^x - 3x^2e^x + 6xe^x - 6e^x$

Então:

$\int\limits {x^3e^x} \, dx = x^3e^x - 3x^2e^x + 6xe^x - 6e^x + C$

Note que como $e^x$ multiplica todos os termos podemos simplificar fatorando-o:

$= (x^3 - 3x^2 + 6x - 6)e^x + C$