Question

Gostaria da ajuda de vocês para resolver essa questão da teoria do confronto de Limites. ​

Answer 1

Resposta:

Ver demonstração a seguir.

Explicação passo-a-passo:

Olá!

   Foi dado que   $f$   é limitada por $M.$   Logo, utilizando propriedades de módulo, temos:

$|f(x)|\leqslant M\Leftrightarrow -M\leqslant f(x)\leqslant M.$

   Multiplicando todos os termos pela função  $g$   (note que não foi citado mas estamos considerando que   $g(x)\geqslant{0},\;\forall\;{x}$  ) e aplicando o limite quando   $x\to{a},$   temos

$\displaystyle \lim_{x\to a}-M\cdot g(x)\leqslant \lim_{x\to a} (f(x)\cdot g(x))\leqslant \lim_{x\to a} M\cdot g(x) \Leftrightarrow \\ \\ \\ \Leftrightarrow -M\lim_{x\to a}g(x)\leqslant \lim_{x\to a} (f(x)\cdot g(x))\leqslant M\lim_{x\to a} g(x) \overset{\text{hip\'otese}}{\Longrightarrow} \\ \\ \\ \Rightarrow -M\cdot 0\leqslant \lim_{x\to a} (f(x)\cdot g(x))\leqslant M\cdot 0\Leftrightarrow 0\leqslant \lim_{x\to a} (f(x)\cdot g(x))\leqslant 0.$

   Segue, do teorema do confronto, que

$\displaystyle\lim_{x\to a}(f(x)\cdot{g(x)})=0.$

Bons estudos!