Question

Geralmente, trabalhamos com funções que podem ser descritas expressando explicitamente a variável y em função de x. Algumas funções, entretanto, são definidas implicitamente por uma relação entre x e y. Em alguns casos é possível resolver a equação isolando y como uma (ou várias), função de x. Em outros casos, não é possível isolar y como função de x.

Felizmente, não precisamos resolver uma equação para encontrar a derivada de y em relação a x. Em vez disso, podemos usar o método da derivação implícita, que consiste na derivação, em relação a x, de ambos os lados da equação.

Determine o valor da derivada de y em relação a x, quando y = 0, considerando a equação

e^(8y) + 6xy = 6x + y,
onde e^y siginifica e elevado a y.

Aproxime o resultado usando 2 casas decimais.

Answer 1

Quando y = 0, temos que dy/dx = -6.

Uma derivada implícita ou parcial, consiste em derivar uma variável enquanto a outra é mantida constante ou tida como um número constante.

Nesse caso, temos que a função é dada por:

$e^{8y}$ + 6xy = 6x + y

y = $e^{8y}$ + 6xy - 6x

Derivando a mesma em relação a x, obtemos que:

dy/dx = $e^{8y}$.0 + 6y - 6

dy/dx = 6y - 6

Quando y = 0, ou seja, substituindo y = 0 na mesma, obtemos que:

dy/dx = 6.(0) - 6

dy/dx = -6.

Espero ter ajudado!