Question

Geovana está aprendendo a fazer construções geométricas com régua e compasso. Em uma das atividades propostas por seu professor, ela deve desenhar um hexágono regular inscrito numa circunferência e depois um hexágono regular circunscrito a essa mesma circunferência, conforme mostra a figura a seguir.

Caso ela utilize uma circunferência de raio R, a razão entre o lado do hexágono regular inscrito e o lado do hexágono regular circunscrito a essa circunferência valerá:
a) √6/2
b) √3/3
c) √3/2
d) 1/2

Figura aí embaixo. Por favor, alguém me explica?

Answer 1

Alternativa Correta: c) √3/2
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Como se trata de dois hexagonos regulares, sabemos que cada ângulo interno vale 120°

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Sn = (n-2)×180
S6 = (6-2)×180 = 720

Ângulo interno = 720/6 = 120°
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Vamos analizar primeiro o HEXÁGONO INSCRITO(o menor).

No desenho o raio da circunferência é a bissetriz do ângulo interno do hexagono, ou seja, ele divide esse ângulo por 2 ficando 60°.

O valor do lado do hexagono inscrito é X. Como ele foi dividido em triângulos equiláteros, podemos estabelecer a seguinte relação trigonométrica:

$\cos(60) = \frac{ \frac{x}{2} }{r}$

$\frac{1}{2} \times r = \frac{x}{2}$

x = r

Temos o valor do lado do hexagono menor. Agora precisamos encontrar o do maior.

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HEXÁGONO CIRCUNSCRITO

Ele também foi dividido em triângulos equilateros. Mas nesse caso a altura desse triângulo é igual ao raio da circunferência. E como o valor do lado do hexágono circunscrito vale Y podemos fazer a seguinte relação trigonométrica:

$\tan(60) = \frac{r}{ \frac{y}{2} }$

$\frac{y \times \sqrt{3} }{2} = r$

Precisamos isolar o Y. Para isso precisaremos fazer a RACIONALIZAÇÃO DOS DENOMINADORES.

$y \sqrt{3} = 2r$

$y = \frac{2r}{ \sqrt{3} }$

$y = \frac{2r \sqrt{3}}{3}$

Agora tudo que precisamos fazer é a razão entre x e y:

$\frac{x}{y} = \frac{r}{ \frac{2r \sqrt{3} }{3} }$

Fazendo toda a racionalização novamente encontraremos que:

$\frac{x}{y} = \frac{ \sqrt{3} }{2}$

Espero ter ajudado, qualquer duvida deixe nos comentários. Falows!!