Geometria Plana na FUVEST
Considere um triângulo ABC tal que a altura BH seja interna ao triângulo e os ângulos BAH e HBC sejam congruentes.
a) Determine o ângulo ABC.
b) Calcule a medida de AC, sabendo que AB = 4 cm e a razão entre as áreas dos triângulos ABH e BCH é igual a 2.
Usuário anônimo:
uma questão da FUVEST de geometria plana que é tranquila, se comparada às outras da segunda fase
ah o segundo item fica a critério racionalizar :)
perdi a minha resposta toda *-* porque a internet caiu
tipo tudo *-*
noooossa mano
Soluções para a tarefa
Respondido por
15
Olá João
Foi anexada uma imagem no final para elucidar melhor a resposta.
A -
Dado o triângulo ABC, foi feito um segmento de reta perpendicular ao lado AC, que vai até o vértice B. Essa seria a altura do triângulo, dada pelo segmento HB.
Com o segmento HB é formado dois triângulos retângulos, com ângulo reto em AHB e CHB.
Como já sabemos que os dois triângulos são retângulos, a soma dos outros 2 ângulos devem resultar em 90º. Já o ângulo ABC será formado pela soma dos dois ângulos, ABC = ABH + HBC
Portanto, temos 1 equação para cada triângulo
BAH + ABH = 90º (i)
HBC + HCB = 90º (ii)
Mas sabemos que os ângulos BAH e HBC são congruentes
BAH = HBC
Isso implica que os outros dois ângulos também são congruentes
ABH = HCB
Somando as duas equações
(i) + (ii)
BAH + ABH = 90º +
HBC + HCB = 90º +
BAH + ABH + HBC + HCB = 180º
Como já vimos antes, HCB é igual a ABH e BAH é igual a HBC
HBC + ABH + HBC + ABH = 180º
2HBC + 2ABH = 180º (divida ambos os lados por 2)
HBC + ABH = 90º
Mas ABC = HBC + ABH
ABC = 90º
B -
Como vimos antes, os ângulos dos dois triângulos são congruentes, portanto, o lado também é.
Temos então que o lado AB do triângulo ABH é congruente ao lado BC, do triângulo BCH
Sabendo que a razão da área dos dois triângulos é 2, temos
ABH/BCH = 2/1
Essa razão por sua vez é equivalente ao quadrado dos lados congruentes
(AB/BC)² = 2/1
Mas sabemos que AB é igual a 4 cm
(4/BC)² = 2
(16/BC²) = 2
16 = 2BC²
8 = BC²
√8 = BC
Agora que sabemos a medida de dois lados do triângulo ABC, e sabendo que ele é um triângulo retângulo, basta aplicar Pitágoras, sabendo que AC é a hipotenusa
(√8)² + 4² = AC²
8 + 16 = AC²
24 = AC²
√24 = AC
2√6 = AC
Portanto, AC mede 2√6 cm
Dúvidas? comente.
A -
Dado o triângulo ABC, foi feito um segmento de reta perpendicular ao lado AC, que vai até o vértice B. Essa seria a altura do triângulo, dada pelo segmento HB.
Com o segmento HB é formado dois triângulos retângulos, com ângulo reto em AHB e CHB.
Como já sabemos que os dois triângulos são retângulos, a soma dos outros 2 ângulos devem resultar em 90º. Já o ângulo ABC será formado pela soma dos dois ângulos, ABC = ABH + HBC
Portanto, temos 1 equação para cada triângulo
BAH + ABH = 90º (i)
HBC + HCB = 90º (ii)
Mas sabemos que os ângulos BAH e HBC são congruentes
BAH = HBC
Isso implica que os outros dois ângulos também são congruentes
ABH = HCB
Somando as duas equações
(i) + (ii)
BAH + ABH = 90º +
HBC + HCB = 90º +
BAH + ABH + HBC + HCB = 180º
Como já vimos antes, HCB é igual a ABH e BAH é igual a HBC
HBC + ABH + HBC + ABH = 180º
2HBC + 2ABH = 180º (divida ambos os lados por 2)
HBC + ABH = 90º
Mas ABC = HBC + ABH
ABC = 90º
B -
Como vimos antes, os ângulos dos dois triângulos são congruentes, portanto, o lado também é.
Temos então que o lado AB do triângulo ABH é congruente ao lado BC, do triângulo BCH
Sabendo que a razão da área dos dois triângulos é 2, temos
ABH/BCH = 2/1
Essa razão por sua vez é equivalente ao quadrado dos lados congruentes
(AB/BC)² = 2/1
Mas sabemos que AB é igual a 4 cm
(4/BC)² = 2
(16/BC²) = 2
16 = 2BC²
8 = BC²
√8 = BC
Agora que sabemos a medida de dois lados do triângulo ABC, e sabendo que ele é um triângulo retângulo, basta aplicar Pitágoras, sabendo que AC é a hipotenusa
(√8)² + 4² = AC²
8 + 16 = AC²
24 = AC²
√24 = AC
2√6 = AC
Portanto, AC mede 2√6 cm
Dúvidas? comente.
Anexos:
Obrigado pela resposta ! Muito bom !!
Obrigado! =)
O jeito que você resolveu o b) é bem mais tranquilo do que eu tinha feito rsrs
O fato de serem congruentes possibilita o uso de proporções
sim !! esse é um método mais rápido do que ficar relacionando cada medida dos dois triângulos menores por Pitágoras
pq aparece umas variáveis a mais
Aham
Muito boa a resposta Super :D
Valeu! :D
Respondido por
1
Resposta:
Explicação passo-a-passo:
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