Question

Geometria espacial

obs: quero RESPOSTA CORRETA E COMPLETA


calcule a área lateral e o volume do tronco da piramide regular, sabendo que a aresta da base maior mede 16cm , aresta da base menor mede 6cm e que a altura da face lateral do tronco mede 13 cm

Answer 1

         A área lateral e o volume do tronco da pirâmide dada são, respectivamente, iguais a A = 572 cm² e V = 1.552 cm³.

         Vamos relembrar alguns conhecimentos de geometria plana e geometria espacial que são úteis na solução do problema.

• Área do triângulo:

                                   $\boxed{\large A_{\vartriangle}=\dfrac{base \cdot altura}{2}} \ \sf(I)$

• Volume da pirâmide:

                             $\boxed{\large \text{ V_{Piramide}=\dfrac{A_{base} \cdot altura}{3} }} \ \sf (II)$

• Teorema de Pitágoras:

                     $\boxed{\large (hiponetusa)^2=(cateto_1)^2 + (cateto_2)^2} \ \sf(III)$

Na pirâmide do anexo (figura), foram destacados dois triângulos que foram redesenhados. Utilizaremos inicialmente o triângulo azul, representado em destaque na figura do meio. Vários pontos foram nomeados e foi utilizado o ponto P da figura original como referência.

Foram dados no problema:

• $\large \overline {XW} = 16 \: \sf cm$  ⇒ aresta da base maior.

• $\large \overline {OP} = 6 \: \sf cm$  ⇒  aresta da base menor.

• $\large \overline {PY} = \overline {NM} = 13 \: \sf cm$  ⇒  altura da face lateral do tronco.

         A área lateral do tronco da pirâmide pode ser calculada através da diferença entre a área do triângulo VXW e a área do triângulo VOP.  Os dados do problema fornecem o valor das bases e, então, deve-se obter as alturas para que se possa usar a equação (I).

- calculo de VM e VN

Os triângulos VXW e  VOP são semelhantes (critério ângulo-ângulo-ângulo) e portanto as medidas equivalentes são proporcionais.

                          $\large \text{ \dfrac{\overline{VM}}{\overline{VN}}=\dfrac{\overline{XW}}{\overline{OP}} }$

O segmento VN pode ser escrito como a diferença entre VM e NM.

                    $\large \text{ \dfrac{\overline{VM}}{\overline{VM}-\overline{NM}}=\dfrac{16}{{6}} }$

                        $\large \text{ \dfrac{\overline{VM}}{\overline{VM}-13}=\dfrac{16}{6} }$

                        $\large \text{ \dfrac{\overline{VM}}{\overline{VM}-13}=\dfrac{8}{3} }$

                            $\large 3 \cdot \overline{VM} = 8 \cdot \overline{VM}-104$

                            $\large 5 \cdot \overline{VM} = 104$

                               $\boxed{\large \overline{VM} = 20{,}8 \: \sf cm}$

Usando-se novamente o fato de que VN é a diferença entre VM e NM.

               $\large \overline{VN} = \overline{VM}-\overline{NM}= 20{,}8 - 13$

                                        $\boxed{\large \overline{VN} = 7{,}8 \: \sf cm}$

Finalmente podemos calcular a área lateral do tronco da pirâmide. Por se tratar de 4 faces, temos

               $\largeA_{Lat-Tronco}=4\cdot \left (A_{\triangle VXW}-A_{\triangle VOP}\right)$

Utilizando-se a equação (I) para os dois triângulos.

               $\large\text{ A_{Lat-Tronco}=4\cdot \left (\dfrac{\overline{XW}\cdot\overline{VM}}{2}-\dfrac{\overline{OP}\cdot\overline{VN}}{2}\right) }$

              $\large\text{ A_{Lat-Tronco}=4\cdot \left(\dfrac{16\cdot 20{,}8}{2}-\dfrac{6\cdot 7{,}8}{2}\right) }$

              $\largeA_{Lat-Tronco}=4\cdot (166{,}4 - 23{,}4) = 4\cdot 143$

                       $\boxed{\boxed{\largeA_{Lat-Tronco}=572 \: \sf cm^2}}$

         Para o cálculo do volume do tronco, faremos a subtração dos volumes das pirâmides maior e menor. Antes, porém ainda necessitamos encontrar as alturas das duas. Para isso, será usado o triângulo amarelo em destaque:

-calculo de VC e VJ

Usaremos o teorema de Pitágoras dado na equação (III) e os valores já calculados de VM e VP, além dos valores dados de  XW e OP.

                             $\large \overline{VC}^2 = \overline{VM}^2 - \overline{MW}^2$

O ponto M é o ponto médio do segmento XW e, portanto, o segmento MW é a metade de XW.

                           $\large \overline{VC}^2 = (20{,}8)^2 - 8^2 = 432{,}64 - 64$

                           $\large \overline{VC}^2 = 368,64$

                                 $\boxed{\large \overline{VC} = 19{,}2 \: \sf cm}$

                         $\large \overline{VB}^2 = \overline{VN}^2 - \overline{NP}^2$

O ponto N é o ponto médio do segmento OP e, portanto, o segmento NP é a metade de OP.

                        $\large \overline{VJ}^2 = (7{,}8)^2 - 3^2 = 60{,}84 - 9$

       

                        $\large \overline{VJ}^2 = 51,84$

                              $\boxed { \large \overline {VJ} = 7{,}2 \: \sf cm }$

Finalmente calcularemos o volume do tronco através da subtração dos volumes das pirâmides maior e menor. Como se trata de pirâmide de base quadrada a área da base é L².

            $\largeV_{Tronco}=\dfrac{1}{3}\cdot (\overline{XW}^2\cdot \overline{VC}) - \dfrac{1}{3}\cdot (\overline{OP}^2\cdot\overline{VJ})$

            $\largeV_{Tronco}=\dfrac{1}{3}\cdot (16^2 \cdot 19{,}2) -\dfrac{1}{3} \cdot (6^2 \cdot 7{,}2)$

           $\largeV_{Tronco}=\dfrac{1}{3}\cdot (4.915{,}2)- \dfrac{1}{3}\cdot (259{,}2)$

           $\largeV_{Tronco}=\dfrac{1}{3}\cdot 4.656$

                              $\boxed{\boxed{\largeV_{Tronco}= 1.552 \: \sf cm^3}}$

Concluindo, a área lateral e o volume do tronco da pirâmide dada são, respectivamente iguais a A = 572 cm² e V = 1.552 cm³.

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