Question

geometria espacial
O molde de uma peça em uma fundição em alumínio
corresponde a uma caixa no formato de
um paralelepípedo retangular, com volume de
216 cm3. Sabe-se que os comprimentos, em centímetros,
dos lados do molde estão ordenadamente em
progressão geométrica, com razão r, de acordo
com a sequência x, xr e 18.
Com base nessas informações, a área da tampa do molde, em cm2
, é igual a
A) 216.
B) 108.
C) 432.
D) 54

nao consigo terminar
1) x. xr.18 = 216
x= 12/xr

2) pg ( x, xr, x.r²)
xr²= x. 18
x= xr²/ 18

com isso tentei montar um sistema para encontrar o r , mas nao esta dando certo

Answer 1

Boa tarde

Temos :

1)   x*(x*r)*18=216 x²*r=216/18 ⇒ x²*r= 12 

2) (xr)² =18*x ⇒ x²r² =18x ⇒x² = 18x / r²

3) 12 / r  = 18x  / r² ⇒ 12r² = 18xr ⇒ 12r = 18x ⇒ r= 18x / 12 ⇒ r = 3x / 2

4) levando   3)   em   1)

x² * r =12 ⇒ x² * 3x / 2 =12 ⇒x² * 3x = 12 * 2  ⇒ 3x³ =24 ⇒ x³ = 8 ⇒x=2

5) Voltando em 3)

r= 3x / 2 ⇒ r = 3 * 2  / 2 ⇒ r =3 

A  P.G. é   ( 2 , 6 ,18 )

A medida da tampa é  6 * 18 = 108cm²     [   letra b  ]

Answer 2

Vamos lá.

Veja, Leehgregorio, que a resolução é mais ou menos simples.
Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Pede-se a área da tampa de uma caixa de formato de um paralelepípedo retangular, sabendo-se que esse paralelepípedo tem volume igual a 216cm³ e que suas dimensões estão em PG, cujos termos são estes (de razão "r"): "x", "xr" e "18".

ii) Veja que o volume de um paralelepípedo é dado pela multiplicação das suas dimensões. Então teremos que:

x*xr*18 = 216 ----- isolando "x*xr", teremos:
x*xr = 216/18 --------- note que esta divisão dá exatamente "12". Logo:
x*xr = 12 --- ou, o que é a mesma coisa:
x²*r = 12
x² = 12/r       . (I)

iii) Note que numa PG a razão é constante e é obtida pela divisão de cada termo consequente pelo seu respectivo antecedente. Assim, se temos que a PG é esta (x; xr; 18), então a sua razão (r) será constante e encontrada assim:

18/xr = xr/x ----- no 2º membro, poderemos simplificar "x" do numerador com "x" do denominador, com o que ficaremos apenas com:

18/xr = r ----- agora vamos multiplicar em cruz, com o que ficaremos assim:
18 = xr*r ---- ou, invertendo-se, o que dá no mesmo:
xr*r = 18   --- ou, o que é a mesma coisa:
xr² = 18 ---- isolando "x", teremos;
x = 18/r²       . (II)

iv) Agora vamos na expressão (I) e, nela, substituiremos "x" por "18/r²".
A expressão (I) é esta:

x² = 12/r   ---- substituindo-se "x" por "18/r²", ficaremos assim:

(18/r²)² = 12/r ---- desenvolvendo o quadrado no 1º membro, temos:
324/r⁴ = 12/r ---- note que se dividirmos ambos os membros por "r" iremos ficar apenas com:

324/r³ = 12 ---- multiplicando-se em cruz, teremos:
324 = 12*r³ --- ou apenas:
324 = 12r³ --- vamos apenas inverter, ficando:
12r³ = 324 --- isolando r³ teremos:
r³ = 324/12 --- note que esta divisão dá exatamente 27. Logo:
r³ = 27 --- isolando "r", teremos:
r = ∛(27) ---- como ∛(27) = 3, teremos:
r = 3 <--- Este é o valor da razão da PG.

Agora, para encontrar o valor de "x" vamos lá na expressão (II), que é esta:

x = 18/r² ---- substituindo-se "r" por "3", teremos:
x = 18/3² ---- como 3² = 9, teremos:
x = 18/9
x = 2 <--- Este é o valor de "x".

v) Assim, como a PG é esta (x; xr; 18), então os seus termos serão estes, após substituirmos o "x" por "2" e o "r" por "3":

(2; 2*3; 18) = (2; 6; 18) <--- Esta é a PG que dá as dimensões da caixa em forma de paralelepípedo.

Assim, a área da sua tampa será dada por apenas duas dimensões da caixa. E para que haja uma das opções dadas, então só existe a opção de a tampa medir 6cm de largura por 18cm de comprimento, com o que temos que a sua área será dada por:

6*18 = 108cm² <--- Esta é a resposta. Opção "B".

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.