Question

GEOMETRIA ANALÍTICA
Unindo os pontos de intersecção da circunferência de equação x²+y²-3y-4=0 com os eixos das coordenadas, obtém-se um quadrilátero. A área desse quadrilátero é igual a?

Answer 1

Vamos, primeiramente, reduzir essa circunferência pelo método de completar quadrados.

Circunferência:

Para acharmos a intersecção da circunferência com os eixos das coordenadas, devemos igualar X e Y a 0.

Para Y=0:

x²+y²-3y-4=0
x²+(0)²-3(0)-4=0
x²-4=0
x²=4
x=√4
x=+-2

No eixo X, a circunferência traça os pontos (2,0) e (-2,0).

Já temos dois pontos do quadrilátero => (2,0) e (-2,0)

Agora vamos achar os outros dois pontos no eixo Y.

Para X=0

x²+y²-3y-4=0
(0)²+y²-3y-4=0
y²-3y-4=0

Equaçãozinha de segundo grau:

1) Calculando o Δ da equação completa:

Δ = b² - 4.a.c 
Δ = -3² - 4 . 1 . -4 
Δ = 9 - 4. 1 . -4 
Δ = 25

Há 2 raízes reais.

2) Aplicando Bhaskara:

y' = (-b +- √Δ)/2a
y' = (--3 + √25)/2.1
y' = 8 / 2
y' = 4

y'' = (--3 - √25)/2.1
y'' = -2 / 2
y'' = -1

No eixo Y, a circunferência traça os pontos (0,4) e (0,-1).

Reunindo os quatro pontos que achamos:

A(0,4)
B(-2,0)
C(2,0)
D(0,-1) 

Como um quadrilátero é composto por dois triângulos, vamos calcular as áreas destes dois triângulos e em seguida somá-los

Calculando a área do triangulo ABC:

        l  0   4  1  l
Det  l  -2  0  1  l
        l  2   0  1  l
0+0-8+0+0-8

Det(ABC)=-16

Aplicando o Det na fórmula:
A=(1/2)l Det l
A=(1/2)l -16 l
A=(1/2)16
A=16/2
A=8


Calculando a área do triangulo BCD:

        l  -2  0  1  l
Det  l  0  -1  1  l
        l  2  0   1  l

-2+0+0-2-0-0
-4
Det(BCD)=-4

Aplicando o Det na fórmula:
A=(1/2)l Det l
A=(1/2)l -4 l
A=(1/2)4
A=4/2
A=2

Área do triangulo BCD = 2

Somando as duas áreas:

A(ABC)+A(BCD)
8 + 2
10

Área do quadrilátero => 10