Question

[Geometria Analítica] Sistemas de coordenadas (?)


Considere os pontos $A = (0,0,0), B = (1,2,3)$ e $C = (-1,-1,-1)$.


a) Dê as coordenadas um ponto $D$ tal que $A,B,C$ e $D$ sejam vértices de um paralelogramo.

b) Dê uma equação geral do plano $\pi$ que contém o paralelogramo do item anterior.

c) Considere o ponto $E = (2,-2,1)$. O ponto $E$ pertence a $\pi$? Justifique.

d )Dê equações paramétricas e simétricas (caso existam) da reta $r$ que passa por $E$ e é perpendicular a $\pi$.

Answer 1

a)

Primeiramente, existem 3 formas diferentes de fazer um paralelogramo (acho que foi lá pra baixo a imagem...)

Vou usar o paralelogramo no qual os vértices A e D são opostos, já que o exercício só pede um ponto D. Perceba que existem dois "caminhos" para ir de A até D:

$D=\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD}$  ou  $D=\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CD}$

Pela definição de um paralelogramo sabemos que os lados opostos são paralelos e possuem medidas iguais, então segue que $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$  e  $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BD}$ . Vamos usar essas igualdades para encontrar D:

$D=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}\ \Rightarrow \ D=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$

Agora, encontrar os vetores de que precisamos será fácil:

$\overrightarrow{AB}=B-A=(1,2,3)-(0,0,0)=(1,2,3)$

$\overrightarrow{AC}=C-A=(-1,-1,-1)-(0,0,0)=(-1,-1,-1)$

Agora podemos encontrar D:

$D=(1,2,3)+(-1,-1,-1)=(0,1,2)$

Essa é uma das possíveis respostas para as coordenadas do ponto D, você pode encontrar as outras por conta própria e resolver os itens como exercício.

b)

Vamos usar um macete nesse: encontrar um vetor perpendicular ao plano e determinar a equação do plano a partir desse vetor. Para encontrar o vetor perpendicular ao plano que contém o paralelogramo, devemos encontrar o vetor perpendicular aos vetores que compõem o paralelogramo, isto é, $\overrightarrow{AB}$ e $\overrightarrow{AC}$ . Faremos isso com um produto vetorial:

$\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=\begin{vmatrix} \hat{i}& \hat{j}& \hat{k}\\ 1& 2& 3\\ -1& -1& -1\\\end{vmatrix}=1\hat{i}-2\hat{j}+1\hat{k}$

Como o vetor que obtemos é prependicular ao plano, e sabemos que o plano contém o ponto A, para qualquer ponto P(x,y,z) pertencente a esse plano vale o seguinte produto escalar:

$\left ( \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC} \right )\cdot \overrightarrow{AP} = 0\ \Rightarrow \ (1,-2,1)\cdot (x-0,y-0,z-0)=0$

A equação geral do plano fica:

$\pi :x-2y+z=0$

*** Nota pós revisão:

Quando eu fiz a resposta original eu estava um pouco cansado, tem uma outra forma de fazer esse item que é até mais facil (essencialmente transformamos o produto vetorial e o produto escalar acima em um produto misto), podemos encontrar a equação do plano usando o fato de que os vetores $\overrightarrow{AB}$ , $\overrightarrow{AC}$ e $\overrightarrow{AP}$ são linearmente dependentes (o determinante calculado a partir destes vetores precisa valer 0), ou seja:

$\begin{vmatrix} x-0& y-0& z-0\\ 1& 2& 3\\ -1& -1& -1\\\end{vmatrix}=x-2y+z=0$

É a mesma coisa, feita em uma operação só basicamente... A vantagem de usar o primeiro método é que ele nos dará o vetor normal, que usaremos noutro item.

***

c)

Suponhamos que E pertença ao plano, então deve valer que:

$x-2y+z=0\ \Rightarrow \ 2-2\cdot(-2)+1=0\ \Rightarrow \ 7=0\ (absurdo!)$

O ponto E não pertence ao plano porque não satisfaz a equação do plano.

d)

Podemos encontrar nossa reta usando um ponto e um vetor diretor. No item b) já encontramos um vetor perpendicular ao plano, além disso, sabemos que a reta passa pelo ponto E, como foi pedido no enunciado, então as coordenadas de um ponto P(x,y,z) pertencente à nossa reta serão dadas por:

$P=E+\lambda \left ( \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC} \right ) \Rightarrow (x,y,z)=(2,-2,1)+\lambda (1,-2,1)$

Que na forma paramétrica fica:

$r: \left\{\begin{matrix}x=2+\lambda \\y=-2-2\lambda \\z=1+\lambda\end{matrix}\right.$

Para encontrar a forma simétrica basta isolar lambda em cada uma das equações e igualá-las:

$r:x-2=-\frac{(y+2)}{2}=z-1$