Question

geometria analitica

sabe-se que v =2,cos A=1/2 e cos B=-1/4 . determinar v

Answer 1

Temos os ângulos diretores do vetor $\overrightarrow{\mathbf{v}}:$

$\alpha,\;\beta$ e $\gamma.$
 

As coordenadas do versor $\overrightarrow{\mathbf{v}}^{\circ}$

(vetor unitário com mesmo módulo e direção de $\overrightarrow{\mathbf{v}}$)

são

$\overrightarrow{\mathbf{v}}^{\circ}=(\cos \alpha;\,\cos \beta;\,\cos \gamma)\\ \\ \overrightarrow{\mathbf{v}}^{\circ}=(\frac{1}{2};\,-\frac{1}{4};\,\cos \gamma)$


Como o versor $\overrightarrow{\mathbf{v}}^{\circ}$ é unitário, devemos ter

$\|\overrightarrow{\mathbf{v}}^{\circ}\|=1\\ \\ \sqrt{(\frac{1}{2})^{2}+(-\frac{1}{4})^{2}+\cos^{2}\gamma}=1\\ \\ \sqrt{\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\cos^{2}\gamma}=1\\ \\ \sqrt{\frac{4+1}{16}+\cos^{2}\gamma}=1\\ \\ \sqrt{\frac{5}{16}+\cos^{2}\gamma}=1$


Elevando os dois lados ao quadrado, temos

$\frac{5}{16}+\cos^{2}\gamma=1\\ \\ \cos^{2} \gamma=1-\frac{5}{16}\\ \\ \cos^{2} \gamma=\frac{16-5}{16}\\ \\ \cos^{2} \gamma=\frac{11}{16}\\ \\ \cos \gamma=\pm \sqrt{\frac{11}{16}}\\ \\ \cos \gamma=\pm \frac{\sqrt{11}}{4}\\ \\ \begin{array}{rcl} \cos \gamma=-\frac{\sqrt{11}}{4}&\;\text{ ou }\;\cos \gamma=\frac{\sqrt{11}}{4} \end{array}$


Então temos duas possibilidades para o versor $\overrightarrow{\mathbf{v}}^{\circ}:$

$\overrightarrow{\mathbf{v}}^{\circ}=(\frac{1}{2};\,-\frac{1}{4};\,\cos \gamma)\\ \\ \begin{array}{rcl} \overrightarrow{\mathbf{v}}^{\circ}=(\frac{1}{2};\,-\frac{1}{4};\,-\frac{\sqrt{11}}{4})&\;\text{ ou }\;&\overrightarrow{\mathbf{v}}^{\circ}=(\frac{1}{2};\,-\frac{1}{4};\,\frac{\sqrt{11}}{4}) \end{array}$


Como queremos que o módulo do vetor $\overrightarrow{\mathbf{v}}$ seja igual a $2,$ devemos ter

$\overrightarrow{\mathbf{v}}=\|\overrightarrow{\mathbf{v}}\|\cdot \overrightarrow{\mathbf{v}}^{\circ}\\ \\ \begin{array}{rcl} \overrightarrow{\mathbf{v}}=2 \cdot (\frac{1}{2};\,-\frac{1}{4};\,-\frac{\sqrt{11}}{4})&\;\text{ ou }\;&\overrightarrow{\mathbf{v}}=2 \cdot (\frac{1}{2};\,-\frac{1}{4};\,\frac{\sqrt{11}}{4}) \end{array}\\ \\ \boxed{\begin{array}{rcl} \overrightarrow{\mathbf{v}}=(1;\,-\frac{1}{2};\,-\frac{\sqrt{11}}{2})&\;\text{ ou }\;&\overrightarrow{\mathbf{v}}=(1;\,-\frac{1}{2};\,\frac{\sqrt{11}}{2}) \end{array}}$