Question

Geometria Analítica - Retas e circunferência.

Answer 1

Oi Pedro.

Bom, se O está no origem as coordenadas são:

$O(0,0)$

Para sabermos as coordenadas do ponto A basta simplesmente colocar 0 no x e achar o y.

$3x-4y+6=0\\ \\ \boxed{x=0}\\ \\ -4y=-6\\ y=\frac { 6 }{ 4 } \Rightarrow \frac { 3 }{ 2 } \\ \\ A(0,\frac { 3 }{ 2 } )$

A equação reduzida da circunferência pode ser entendida assim:

$(x-r)^{ 2 }+(y-r)^{ 2 }=r^{ 2 }$

A equação reduzida da reta é:

$3x-4y+6=0\\ 4y=3x+6\\ y=\frac { 3 }{ 4 } x+\frac { 3 }{ 2 }$

Agora é só achar a intersecção da reta com a circunferência. Como o y já está isolado basta substituir na outra equação:

$(x-r)^{ 2 }+(\frac { 3 }{ 4 } x+\frac { 3 }{ 2 } -r)^{ 2 }=r^{ 2 }\\ \\ x^{ 2 }-2xr+r^{ 2 }+(\frac { 3x+6-4r }{ 4 } )^{ 2 }=r^{ 2 }\\ \\ \frac { x^{ 2 }-2xr+r^{ 2 }+(3x+6-4r)^{ 2 }=r^{ 2 } }{ 16 } \\ \\ 16(x^{ 2 }-2xr+r^{ 2 })+(3x)^{ 2 }+2(3x)(6-4r)+(6-4r)^{ 2 }=16r^{ 2 }\\ \\ 16x^{ 2 }-32xr+16r^{ 2 }+9x^{ 2 }+36x-24xr+36-48r+\not16r^{ 2 }=\not16r^{ 2 }$

$16x^{ 2 }+9x^{ 2 }-32xr-24xr+16r^{ 2 }+36x+36-48r=0\\ \\ 25x^{ 2 }-56xr+16r^{ 2 }+36x+36-48r=0$

Colocando em evidência por agrupamento.

$25x^{ 2 }-(56r+36)x+(16r^{ 2 }-48r+36)=0$

Agora temos uma equação do segundo grau.

$\Delta =b^{ 2 }-4ac\\ \\ \Delta =(-56r+36)^{ 2 }-4(25)(16r^{ 2 }-48r+36)=0\\ \\ \Delta =3136r^{ 2 }-4032r+1296-1600r^{ 2 }+4800r-3600=0\\ \\ 1536r^{ 2 }+768r-2304=0$

Caímos em outra equação do segundo grau.

Com isso acharemos as raízes.

$r^{ 1 }=-\frac { 3 }{ 2 } \quad e\quad r^{ 2 }=1$

O raio não pode ser negativo, então concluímos que o raio é 1.

E com isso percebe-se que o centro é (1,1)