Question

"Geometria analítica"

Não é uma questão preciso entender essa explicação, não sei se é matrizes...
Três pontos A(Xa,Ya), B(Xb,Yb) e C(Xv,Yc), são colineares se e somente se, |Xa Ya 1|
|Xb Xa 1|. = 0
|Xv Yc 1|

Alguém me explica? São colineares se Xa + Ya + 1 = 0 ou algo do tipo??? Alguém me explica?

Answer 1

Três pontos são colineares se o determinante da matriz:

$\left[\begin{array}{ccc}x_a&y_a&1\\x_b&y_b&1\\x_c&y_c&1\end{array}\right] = 0$

Essa matrix nada mais é do que o dobro da área de um triângulo de vértices $A = (x_a, y_a), B = (x_b, y_b)\text{ e C = }(x_c, y_c)$

Ou seja, se a área do triângulo cujos vértices são A, B e C, é nula, isso significa que os pontos estão alinhados.

O determinante dessa matriz é:

$\Delta = x_a \cdot y_b \cdot 1 + y_a \cdot 1 \cdot x_c + 1 \cdot x_b \cdot y_c - 1 \cdot y_b \cdot x_c - y_a \cdot x_b \cdot 1 - x_a \cdot 1 \cdot y_c$

$\Delta = x_a \cdot y_b + y_a \cdot x_c + x_b \cdot y_c - y_b \cdot x_c - y_a \cdot x_b - x_a \cdot y_c$

$\Delta = x_a \cdot (y_b - y_c) + x_b \cdot (y_c - y_a) + x_c \cdot (y_a - y_b)$

Se $\Delta = 0$, significa que os três pontos pertencem à mesma reta.