Question

Geometria Analítica na FUVEST

(Fuvest) Os pontos A (0,0) e B (3,0) são vértices consecutivos de um paralelogramo ABCD situado no 1º quadrante. O lado AD é perpendicular à reta "y = -2*x" e D pertence à circunferência de centro na origem e raio = √5. Então, as coordenadas de C são...

Answer 1

$Olhar \ anexo \ (1) \ para \ ver \ uma \ poss\acute{i}vel \ ilustra\c{c}\tilde{a}o \ do \ prov\acute{a}vel \\ paralelogramo \ no \ plano \ cartesiano \ . \\ \\ Sendo \ a \ reta \ r \ : \ y \ = \ -2x \ perpendicular \ a \ reta \ que \ cont\acute{e}m \ os \\ pontos \ A \ e \ D \ ent\tilde{a}o \ \acute{e} \ v\acute{a}lido \ notar \ que \ , \\ \\ m_{\overline{AD}} \ . \ m_r \ = \ -1 \\ \\ m_{\overline{AD}} \ = \ \frac{1}{2}$

$Assim \ a \ equa\c{c}\tilde{a}o \ da \ reta \ \overline{AD} \ pode \ ser \ expressa \ por \ y \ = \frac{1}{2}x \ .$

$Como \ foi \ informado \ pelo \ enunciado \ a \ dist\hat{a}ncia \ entre \ os \\ pontos \ A \ e \ D \ \acute{e} \ \sqrt{5} \ . \ Se \ imaginarmos \ um \ ponto \ M \ que \ seja \\ ponto \ m\acute{e}dio \ de \ A \ e \ D \ podemos \ escrever \ as \ suas \ coordenadas \\ assim \ : \ M( t \ , \frac{t}{2} ) \ . \ Isso \ decorre \ do \ fato \ de \ que \ M \ pertence \\ a \ reta \ \overline{AD} \ e \ eu \ escrevi \ a \ ordenada \ em \ fun\c{c}\tilde{a}o \ da \ abcissa$

$Olhar \ anexo \ (2) \\ \\ Pelo \ fato \ de \ M \ ser \ ponto \ m\acute{e}dio \ ent\tilde{a}o \ a \ dist\hat{a}ncia \ entre \\ \ A \ e \ M \ \acute{e} \ \frac{ \sqrt{5} }{2} \ . \ Aplicando \ a \ f\acute{o}rmula \ da \ dist\hat{a}ncia \ de \ dois \ pontos \ ,$

$d_{A,M} \ = \ \frac{ \sqrt{5} }{2} \\ \\ \sqrt{(x_A-x_M)^2 \ + \ (y_A-y_M)^2} \ = \frac{ \sqrt{5} }{2} \\ \\ \Big[ \ \sqrt{(0-t)^2 \ + \ (0- \frac{t}{2})^2} \ \Big]^2 \ = \ \Big[ \frac{ \sqrt{5}}{2} \Big]^2 \\ \\ t^2 + \frac{t^2}{4} \ = \frac{5}{4} \\ \\ t \ = \ ^+ _- 1 \\ \\ Pelo \ fato \ de \ o \ paralelogramo \ pertencer \ ao \ primeiro \ quadrante \\ ent\tilde{a}o \ t \ = \ 1 \ . \ Logo \ M( 1 , \frac{1}{2} )$

$Seja \ N \ o \ ponto \ m\acute{e}dio \ do \ segmento \ \overline{BC} \\ \\ Num \ paralelogramo \ a \ reta \ que \ une \ dois \ pontos \\ m\acute{e}dios \ n\tilde{a}o \ consecutivos \ \acute{e} \ paralela \ aos \ lados \ adjacentes \ desses \\ pontos \ . \ Com \ isso \ podemos \ afirmar \ que \ as \ ordenadas \ de \ M \ e \ N \\ s\tilde{a}o \ as \ mesmas . \\ \\ y_M \ = \ y_N \ = \ \frac{1}{2}$

$Como \ temos \ que \ num \ paralelogramo \ dois \ lados \ n\tilde{a}o \ consecutivos \\ s\tilde{a}o \ paralelos \ ent\tilde{a}o \ , \\ \\ m_{\overline{AC}} \ // m_{\overline{BC}} \ \ \ \Rightarrow \ \ \ m_{\overline{AC}} \ = m_{\overline{BC}} \ = \frac{1}{2} \\ \\ Assim \ vamo \ determinar \ a \ reta \ \overline{BC} \ utilizando \ o \ ponto \ B(3,0) \ , \\ \\ y \ = m_{\overline{BC}} \ . \ x \ + \ n \\ \\ 0 \ = \ \frac{1}{2}.(3) \ + \ n \\ \\ n = \ - \frac{3}{2}$

$Assim \ a \ equac{c}\tilde{a}o \ , \\ \\ \overline{BC} \ : \ y \ = \ \frac{1}{2}.x \ - \ \frac{3}{2} \\ \\ Sabendo \ a \ ordenada \ de \ N \ podemos \ substituir \ na \ equa\c{c}\tilde{a}o \ para \\ descobrir \ sua \ abcissa . \\ \\ \frac{1}{2} \ = \ \frac{1}{2}.x \ - \ \frac{3}{2} \\ \\ x \ = \ 4 \\ \\ Com \ isso \ , \ temos \ que \ N(4, \frac{1}{2})$

$Pelo \ fato \ de \ N \ funcionar \ como \ ponto \ m\acute{e}dio \ dos \ pontos \ B \ e \ C \\ podemos \ estabelecer \ que \ , \\ \\ X_N \ = \ \frac{X_B \ + \ X_C}{2} \ \ \ \ e \ \ \ \ Y_N \ = \ \frac{Y_B \ + \ Y_C}{2} \\ \\ Substituindo \ as \ coordenadas \ de \ N \ e \ B \ temos \ as \\ coordenadas \ de \ C \ : \ C( 5,1) \ .$