Question

Geometria analítica - Equação da circunferência Escreva a equação reduzida da circunferência que passa pelo ponto P(2,4) e tem centro em c(2,1). * A) (x-2)² + (y-1)² = 25 B) (x-2)² - (y-1)² = 5² C) (x+2)² +(y-1)²=5 D) x² + y² = 25 E) (y-1)² + (x-2)² = 5²

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{(x-2)^2+(y-1)^2=9}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos relembrar algumas propriedades de distância entre pontos e equações de circunferência.

Nos foi dito que a circunferência passa pelo pontos $P~(2,~4)$ e tem centro em $C~(2,~1)$.

Lembre-se que a equação reduzida de uma circunferência de centro $(x_c,~y_c)$ e raio $r$ é dada por:

$(x-x_c)^2+(y-y_c)^2=r^2$

Neste caso, podemos substituir as coordenadas do centro

$(x-2)^2+(y-1)^2=r^2$

Para encontrarmos a medida do raio, devemos calcular a distância entre o centro e o ponto P, visto que a medida do segmento que parte do centro até qualquer ponto pertencente à circunferência (lembre-se que pertencente é diferente de interno à circunferência) é igual ao raio.

Ou seja, sabendo que a distância entre dois pontos $(x_1,~y_1)$ e $(x_2,~y_2)$ é dada por $d=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$, substituímos as coordenadas:

$d=\sqrt{(2-2)^2+(4-1)^2}$

Somando os valores

$d=\sqrt{0^2+3^2}$

Calcule as potências

$d=\sqrt{3^2}$

Calcule a raiz

$d=3$

Sabendo que, nestas condições, $d=r$

$r=3~~\checkmark$

Substituindo esta medida na equação da circunferência

$(x-2)^2+(y-1)^2=3^2\\\\\\ (x-2)^2+(y-1)^2=9$

Esta é a equação da circunferência que passa por estes pontos.