Question

Geometria Analítica e Álgebra Linear - Semana 7
PERGUNTA 1

Assinale a alternativa que apresenta a Matriz da Transformação Linear que apenas triplica o comprimento de todos os vetores no plano cartesiano:

a.$\begin{bmatrix}
1& 0 \\
0& 3
\end{bmatrix}$

b.$\begin{bmatrix}
3& 0 \\
0& 3
\end{bmatrix}$

c.$\begin{bmatrix}
3& 1 \\
1& 3
\end{bmatrix}$

d.$\begin{bmatrix}
1& 3 \\
3& 1
\end{bmatrix}$

e.$\begin{bmatrix}
3& 0 \\
0& 1
\end{bmatrix}$



**PERGUNTA 2**

Assinale a opção que apresenta a matriz da Transformação Linear que gira todos os vetores no plano por 30° no sentido anti-horário

a.$\begin{bmatrix}
\cos(30°) \sin(30°) \\
- \sin(30°) - \cos(30°)
\end{bmatrix}$

b.$\begin{bmatrix}
\cos(30°) \sin(30°) \\
- \sin(30°) \cos(30°)
\end{bmatrix}$

c.$\begin{bmatrix}
\cos(30°) - \cos(30°) \\
\sin(30°) - \sin(30°)
\end{bmatrix}$

d.$\begin{bmatrix}
\cos(30°) \cos(30°) \\
\sin(30°) \sin(30°)
\end{bmatrix}$

e.$\begin{bmatrix}
\cos(30°) - \sin(30°) \\
\sin(30°) \cos(30°)
\end{bmatrix}$


PERGUNTA 3

Assinale a opção que apresenta a descrição da ação no plano da transformação linear dada pela matriz: $\begin{bmatrix} 1 0 \\ 0 - 1 \end{bmatrix}$

a.Mantém a direção e comprimento de todos os vetores do Plano.

b.Reflete todos os vetores do plano pelo eixo y.

c.Dobra o comprimento de todos os vetores do Plano.

d.Inverte o sentido de todos os vetores no Plano.

e.Reflete todos os vetores do plano pelo eixo x



PERGUNTA 4

Seja A = $\begin{bmatrix} 1 3 \\ 1 1 \end{bmatrix}$ a matriz relacionada a Transformação Linear no Plano T. Assinale a opção que apresenta a área da imagem sob T do quadrado unitário

a.Área da imagem do quadrado unitário sob a Transformação Linear T=-2

b.Área da imagem do quadrado unitário sob a Transformação Linear T=raiz quadrada de 2

c.Área da imagem do quadrado unitário sob a Transformação Linear T=1

d.Área da imagem do quadrado unitário sob a Transformação Linear T=3

e.Área da imagem do quadrado unitário sob a Transformação Linear T=2



PERGUNTA 5

Assinale a opção que apresenta a equação da reta que é um subespaço vetorial do reto números reais ao cubo

a.$\begin{cases}
x = t\\
y = - 2 t\\
z = 3 t
\end{cases}$

b.$\begin{cases}
x = 2\\
y = 6\\
z = t
\end{cases}$

c.$\begin{cases}
x = 2 + t\\
y = 1 - 2t\\
z = 4 + t
\end{cases}$

d.$\begin{cases}
x = 7\\
y = -2t\\
z = 3t
\end{cases}$

e.$\begin{cases}
x = 1 - t\\
y = 1 -2t\\
z = 1 + 5t
\end{cases}$



PERGUNTA 6

Seja A = $\begin{bmatrix} 2 - 1\\ 1 0 \end{bmatrix}$ é a matriz da Transformação Linear S, e B = $\begin{bmatrix} 1 0 \\ 2 1 \end{bmatrix}$ é a matriz da Transformação Linear T.

Assinale a opção que apresenta a Matriz que representa a composição S operador anelar T:

a.$\begin{bmatrix}
2 -1\\
1 0 \end{bmatrix}$

b.$\begin{bmatrix}
0 -1\\
-1 0
\end{bmatrix}$

c.$\begin{bmatrix}
0 -1\\
1 0
\end{bmatrix}$

d.$\begin{bmatrix}
1 0 \\
2 1
\end{bmatrix}$

e.$\begin{bmatrix}
2 -1\\
1 2
\end{bmatrix}$

Answer 1

Resposta:

- Pergunta 1 - Alternativa B

3  0

0  3

- Pergunta 2 - Alternativa B

cos30   sen30

-sen30  cos30

- Pergunta 3 - Alternativa E

Reflete todos os vetores do plano pelo eixo x

- Pergunta 4 - Alternativa E

Área da imagem do quadrado unitário sob a Transformação Linear T=2

- Pergunta 5 - Alternativa A

x = t

y = - 2 t

z = 3 t

- Pergunta 6 - Alternativa C

0  -1

1   0

Explicação passo a passo:

Answer 2

Resolvendo estes exercícios de transformações lineares temos o seguinte:

1. A matriz associada é b) $\left[\begin{array}{cc}3&0\\0&3\end{array}\right]$;
2. A matriz associada é e) $\left[\begin{array}{cc}cos(30\º)&-sen(30\º)\\sen(30\º)&cos(30\º)\end{array}\right]$;
3. A transformação linear reflete todos os vetores do plano pelo eixo x;
4. A área da imagem do quadrado unitário é b) 2;
5. Somente a reta a) (bx,y,z)=(t,-2t,3t) é um subespaço vetorial;
6. A matriz associada à composição de transformações lineares é $M(SoT)=\left[\begin{array}{cc}0&-1\\1&0\end{array}\right]$.

Transformação linear que apenas triplicar o comprimento dos vetores

Para um vetor (x,y) ficar com seu comprimento triplicado, deve ser transformado no vetor (3x,3y), ou seja, deve-se triplicar suas componentes, portanto, a transformação linear é:

$T:R^2\rightarrow R^2/T(x,y)=(3x,3y)=\left[\begin{array}{cc}3&0\\0&3\end{array}\right] \left[\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right]$

Portanto, a matriz associada a esta transformação linear é a matriz B.

Matriz de rotação de todos os vetores por 30º no sentido anti-horário

Sendo o vetor $(M.cos(\theta),M.sen(\theta))$, em que M é o módulo do vetor e $\theta$ o ângulo em relação ao eixo horizontal positivo, o vetor rotado por 30 graus no sentido anti-horário é:

$(M.cos(\theta+30\º),M.sen(\theta+30\º))=\\\\=(M.cos(\theta).cos(30\º)-M.sen(\theta).sen(30\º),M.sen(\theta).cos(30\º)+M.cos(\theta).sen(30\º))$

Podemos escrever esta expressão em notação matricial:

$(\left[\begin{array}{cc}cos(30\º)&-sen(30\º)\end{array}\right] \left[\begin{array}{c}M.cos(\theta)\\M.sen(\theta)\end{array}\right] ,\left[\begin{array}{cc}sen(30\º)&cos(30\º)\end{array}\right] \left[\begin{array}{c}M.cos(\theta)\\M.sen(\theta)\end{array}\right] )\\\\(\left[\begin{array}{cc}cos(30\º)&-sen(30\º)\end{array}\right] \left[\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right] ,\left[\begin{array}{cc}sen(30\º)&cos(30\º)\end{array}\right] \left[\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right] )$

Finalmente, a matriz associada é:

$T(x,y)=\left[\begin{array}{cc}cos(30\º)&-sen(30\º)\\sen(30\º)&cos(30\º)\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right]$

A matriz E dentre as apresentadas.

Ação realizada pela transformação linear através da sua matriz associada

Se termos a matriz associada podemos expressar a transformação linear na sua forma matricial:

$T(x,y)=\left[\begin{array}{cc}1&0\\0&-1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right]=(x,-y)$

Isso representa uma reflexão de todos os vetores do plano pelo eixo 'x'.

Área da imagem sob a transformação linear do quadrado unitário

O quadrado unitário é um quadrado formado pelos pontos (0,0), (1,0), (1,1) e (0,1). Os transformados desses pontos são:

$T(0,0)=\left[\begin{array}{cc}1&3\\1&1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}0\\0\end{array}\right]=(0,0)\\\\T(1,0)=\left[\begin{array}{cc}1&3\\1&1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right]=(1,1)\\\\T(1,1)=\left[\begin{array}{cc}1&3\\1&1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}1\\1\end{array}\right]=(4,2)\\\\T(0,1)=\left[\begin{array}{cc}1&3\\1&1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right]=(3,1)$

O quadrado unitário torna-se o paralelogramo ABCD da imagem adjunta, formado pelos triângulos ABD e BCD, de base 2 e altura 1. Portanto, a área do transformado é 2.

Seleção da reta que é um subespaço vetorial de $R^3$

Um subespaço vetorial deve conter ao vetor nulo. Como as retas b e d tem coordenadas fixas em um valor não nulo, não incluem ao vetor nulo, então, não são subespaços vetoriais.

Na reta 'a' se fizermos t=0, teremos o vetor nulo. Nas retas 'c' e 'e' podemos tentar achar o valor de t cujo resultado é o vetor nulo, para a reta 'c' temos:

2+t=0

1-2t=0

4+t=0

Subtraindo a primeira e a terceira equação:

2+t=0

4+t=0

-2=0

Não existe valor de t cujo resultado seja o vetor nulo. A reta não é un subespaço. Para a reta 'e' podemos fazer o mesmo:

1-t=0

1-2t=0

1+5t=0

2-2t=0

1-2t=0

Subtraindo membro por membro tem-se:

1=0

Não inclui ao vetor nulo, então, tampouco é um subespaço. Apenas a reta 'a' é um subespaço vetorial.

Composição de duas transformações lineares

A matriz associada á composição de transformações lineares $SoT$ é o produto matricial entre a matriz associada de S e a matriz associada de T:

$M(SoT)=M(S).M(T)=\left[\begin{array}{cc}2&-1\\1&0\end{array}\right] \left[\begin{array}{cc}1&0\\2&1\end{array}\right] =\left[\begin{array}{cc}0&-1\\1&0\end{array}\right]$

Mais exemplos de transformações lineares em https://brainly.com.br/tarefa/50229620

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