Question

GEOMETRIA ANALÍTICA:
Considere o ponto P1 (2, -4, 12) e a reta r. Escreva as equações simétricas da reta que passa por P e é perpendicular a reta r.

Answer 1

Veja figura em anexo.


$\bullet\;\;$ Dadas as equações paramétricas da reta $r$

$r:\left\{ \begin{array}{l} x=m\\y=1-2m\\z=2+3m \end{array} \right.$


reescrevendo a equação da reta $r,$ temos que

$r:\;(x,\;y,\;z)=(m,\;1-2m,\;2+3m)\\ \\ r:\;(x,\;y,\;z)=(0,\;1,\;2)+(m,\;-2m,\;3m)\\ \\ r:\;(x,\;y,\;z)=(0,\;1,\;2)+m\cdot (1,\;-2,\;3)$


Da última equação acima, conclui-se que $r$ passa pelo ponto $P(0,\;1,\;2)$ e o vetor $\vec{\mathbf{v}}=(1,\;-2,\;3)$ é um vetor diretor da reta $r.$


$\bullet\;\;$ Seja $s$ a reta procurada, que passa pelo ponto $P_{1}(2,\;-4,\;12),$ e é perpendicular a $r.$


Sendo $\vec{\mathbf{w}}$ um vetor diretor da reta $s;$

e $\mathrm{proj}_{\vec{\mathbf{v}}}{\overrightarrow{PP_{1}}}$ o vetor projeção ortogonal de $\overrightarrow{PP_{1}}$ na direção de $\vec{\mathbf{v}};$
 

analisando a figura, vemos que, por soma de vetores,

$\mathrm{proj}_{\vec{\mathbf{v}}}{\overrightarrow{PP_{1}}}+\vec{\mathbf{w}}=\overrightarrow{PP_{1}}\\ \\ \vec{\mathbf{w}}=\overrightarrow{PP_{1}}-\mathrm{proj}_{\vec{\mathbf{v}}}{\overrightarrow{PP_{1}}}\;\;\;\;\;\mathbf{(i)}$


$\bullet\;\;$ Encontrando os vetores $\overrightarrow{PP_{1}}$ e sua projeção ortogonal $\mathrm{proj}_{\vec{\mathbf{v}}}{\overrightarrow{PP_{1}}}:$

$\overrightarrow{PP_{1}}=P_{1}-P\\ \\ \overrightarrow{PP_{1}}=(2,\;-4,\;12)-(0,\;1,\;2)\\ \\ \overrightarrow{PP_{1}}=(2-0,\;-4-1,\;12-2)\\ \\ \overrightarrow{PP_{1}}=(2,\;-5,\;10)\;\;\;\;\;\mathbf{(ii)}$


$\mathrm{proj}_{\vec{\mathbf{v}}}{\overrightarrow{PP_{1}}}=\dfrac{(\overrightarrow{PP_{1}}\cdot \vec{\mathbf{v}})}{\|\vec{\mathbf{v}}\|^{2}}\cdot \vec{\mathbf{v}}\\ \\ \\ \mathrm{proj}_{\vec{\mathbf{v}}}{\overrightarrow{PP_{1}}}=\dfrac{(2,\;-5,\;10)\cdot (1,\;-2,\;3)}{1^{2}+(-2)^{2}+3^{2}}\cdot \vec{\mathbf{v}}\\ \\ \\ \mathrm{proj}_{\vec{\mathbf{v}}}{\overrightarrow{PP_{1}}}=\dfrac{2\cdot 1+(-5)\cdot (-2)+10\cdot 3}{1+4+9}\cdot \vec{\mathbf{v}}\\ \\ \\ \mathrm{proj}_{\vec{\mathbf{v}}}{\overrightarrow{PP_{1}}}=\dfrac{2+10+30}{14}\cdot \vec{\mathbf{v}}\\ \\ \\ \mathrm{proj}_{\vec{\mathbf{v}}}{\overrightarrow{PP_{1}}}=\frac{42}{14}\cdot \vec{\mathbf{v}}\\ \\ \mathrm{proj}_{\vec{\mathbf{v}}}{\overrightarrow{PP_{1}}}=3\cdot \vec{\mathbf{v}} \;\;\;\;\;\mathbf{(iii)}$


$\bullet\;\;$ Substituindo em $\mathbf{(i)}$ os valores encontrados em $\mathbf{(ii)}$ e $\mathbf{(iii)},$ temos

$\vec{\mathbf{w}}=(2,\;-5,\;10)-3\cdot \vec{\mathbf{v}}\\ \\ \vec{\mathbf{w}}=(2,\;-5,\;10)-3\cdot (1,\;-2,\;3)\\ \\ \vec{\mathbf{w}}=(2,\;-5,\;10)+(-3,\;6,\;-9)\\ \\ \vec{\mathbf{w}}=(2-3,\;-5+6,\;10-9)\\ \\ \vec{\mathbf{w}}=(-1,\;1,\;1)$


Como $\vec{\mathbf{w}}$ é um vetor diretor da reta $s$ procurada, e esta reta passa pelo ponto $P_{1}(2,\;-4,\;12),$ uma equação de $s$ é

$s:\;(x,\;y,\;z)=P_{1}+t\cdot \vec{\mathbf{w}}\\ \\ s:\;(x,\;y,\;z)=(2,\;-4,\;12)+t\cdot (-1,\;1,\;1)$


Subtraindo o ponto $P_{1}$ dos dois lados, temos

$s:\;(x,\;y,\;z)-(2,\;-4,\;12)=t\cdot (-1,\;1,\;1)\\ \\ s:\;(x-2,\;y+4,\;z-12)=t\cdot (-1,\;1,\;1)\\ \\ s:\;(x-2,\;y+4,\;z-12)=(-t,\;t,\;t)$


Para encontrar as equações simétricas de $s,$ isolamos o parâmetro $t:$

$s:\left\{ \begin{array}{c} -t=x-2\\ t=y+4\\ t=z-12 \end{array} \right.\\ \\ \\ \boxed{\begin{array}{c}s:\,\dfrac{x-2}{-1}=\dfrac{y+4}{1}=\dfrac{z-12}{1} \end{array}}$