Question

Geometria Analítica

Conhecendo a equação $x^{2} +y^{2} -6x+2y+9=0$, calcule os valores de K para que o ponto P(K,1), pertença a circunferência.

Answer 1

Temos a seguinte equação geral:

$x {}^{2} + y {}^{2} - 6x - 2y + 9 = 0$

A questão quer saber quais valores de "k" satisfazem a restrição do ponto pertencer a circunferência. De cara já sabemos que será necessário colocar essa equação em sua forma reduzida, para que possamos achar o centro. Para isso usarei a equação geral em sua forma padrão, ou seja, sem substituição de valor:

$x {}^{2} + y {}^{2} - 2ax - 2by + k = 0$

Fazendo a comparação, temos:

$- 2ax = - 6x \: \to \: a = \frac{ - 6x}{ - 2x} \: \to \: a = 3 \\ - 2by = -2y \: \to \: b = \frac{2y}{ - 2y} \: \to \: b = 1$

Portanto já sabemos que o centro é $C(3,1)$. Para encontrar o raio, basta ultilizar a relação própria do "k":

$k = a {}^{2} + b {}^{2} - r {}^{2} \\ 9 = 3 {}^{2} + ( 1) {}^{2} - r {}^{2} \\ 9 = 9 + 1 - r {}^{2} \\ - 1 = - r {}^{2} \\ r = \sqrt{1} \\ r = 1$

Sabemos também que o raio é 1. Agora para encontrar "k", vamos calcular a distância entre esses dois pontos, pois para o ponto ser pertencente a circunferência, a distância do centro até o ponto deve ter o mesmo valor do raio dessa circunferência.

$d_{C,A}=\sqrt{(x_C-x_A)^2+(y_C-y_A)^2} \\ d_{C,A}=\sqrt{(3-k)^2+( 1 - 1)^2} \\ d_{C,A} = \sqrt{3 {}^{2} - 6k + k {}^{2} } \\ d_{C,A} = \sqrt{k {}^{2} - 6k + 9 }$

Como eu havia disto, essa distância deve ser igual ao raio, e como calculamos o raio é 1, então:

$1 = \sqrt{k {}^{2} - 6k + 9}$

Para eliminar a raiz, basta elevar ambos os membros ao quadrado:

$1 {}^{2} = ( \sqrt{k {}^{2} - 6k + 9 } ) {}^{2} \\ 1 = k {}^{2} - 6k + 9 \\ k {}^{2} - 6k + 8 = 0$

Agora é só resolver essa equação do segundo grau. Para agilizar colocarei apenas as raízes:

$k {}^{2} - 6k + 8= 0 \: \to \: k_{1} = 4 \:e\:k_2 = 2$

Esses são os dois possíveis valores de "k".