Question

GEOMETRIA ANALITICA
como faço para encontrar o raio dessa equação: x2+y2-10x-12y+45=0
Essa questão pede para determinar a área devastada por uma bomba,considerando pi =3 . seguindo essa equação que eu dei,mas não consigo achar o raio aí.
pois sabemos que pra calcular a area ,a formula é A= \pi .r2

Answer 1

$\bullet\;\;$ O que temos de fazer aqui, é colocar a equação dada na forma reduzida:

$(x-x_{_{C}})^{2}+(y-y_{_{C}})^{2}=r^{2}\;\;\;\;\;\;\mathbf{(i)}$


sendo $(x_{_{C}},\;y_{_{C}})$ as coordenadas do centro do círculo, e $r$ a medida do raio.


$\bullet\;\;$ Tomemos a equação dada:

$x^{2}+y^{2}-10x-12y+45=0\\ \\ x^{2}-10x+y^{2}-12y=-45$


Agora, vamos utilizar o artifício de completamento de quadrados. Para completar os quadrados do lado esquerdo, vamos adicionar $25+36$ aos dois membros da equação acima:

$x^{2}-10x+25+y^{2}-12y+36=-45+25+36\\ \\ \\ (x^{2}-10x+25)+(y^{2}-12y+36)=16$


Como os termos entre parênteses são trinômios quadrados perfeitos, podemos reescrever a equação assim:

$(x-5)^{2}+(y-6)^{2}=16\\ \\ (x-5)^{2}+(y-6)^{2}=4^{2}\;\;\;\;\;\mathbf{(ii)}$


A equação $\mathbf{(ii)}$ acima já está na forma reduzida. Comparando $\mathbf{(ii)}$ com $\mathbf{(i)},$ concluímos que

o centro da circunferência é o ponto $(5,\;6)$

o raio da circunferência é $r=4.$


$\bullet\;\;$ Vamos agora, calcular a área interna à circunferência, usando a aproximação $\pi=3:$

$A=\pi\cdot r^{2}\\ \\ A=3\cdot 4^{2}\\ \\ A=3\cdot 16\\ \\ A=48\text{ unidades de \'{a}rea}$