Question

Geometria Analítica
Alguém sabe resolver esse exercício usando:
Área do triângulo = determinante /2 ?

Calcule as coordenadas do ponto P = (x, y),
sabendo-se que a área do triângulo APD é o
dobro da área do triângulo PBC e que esse
tem área igual ao dobro da área do triângulo
PDC.

Answer 1

Vamos encontrar as áreas dos triângulos usando determinante:

Área = |D| / 2 

As coordenadas dos pontos que forma o triângulo APD são A = (0,0) , P= (x,y) e D = (0,1), assim ao calcular o determinante temos:

$D = \left| \begin{array}{rcr} 0 & 0 & 1 \\ x & y & 1\\ 0 & 1 & 1 \end{array} \right| = x$

Área APD = |x| / 2
 
Determinante para o triângulo PBC: 

$D = \left| \begin{array}{rcr} 1 & 0 & 1 \\ x & y & 1\\ 1 & 1 & 1 \end{array} \right| = x-1$

Área PBC = |1-x| / 2 

Determinante para o triângulo PDC:

$D = \left| \begin{array}{rcr} 0 & 1 & 1 \\ x & y & 1\\ 1 & 1 & 1 \end{array} \right| = 1-y$

Área PDC = |1-y| / 2 

Como a área do triângulo APD é o dobro da área do PBC, temos:
x / 2 = 2 * (1 - x) / 2 
x = 2 - 2x 
3x = 2
x = 2/3

A área do PBC é o dobro do PDC:
(1-x) / 2 = 2*(1-y) / 2 
1 - x = 2 - 2y
1 -2/3 = 2 - 2y
1 = 6 - 6y
6y = 5 
y = 5/6

P = (2/3 , 5/6)

OBS: Podemos tirar os valores que estão em módulo direto pois sabemos pelo gráfico que x e y são um pouco menor do que 1, assim 1-x e 1-y resultam em um número positivo.

Bons estudos...