Question

Geometria Analítica. Alguém pode por favor me ajudar?​

Answer 1

Temos os seguinte dados:

$C=(5,1) , \: \: F(9,1) \: \: e \: \: d = 4 \sqrt{2}$

Primeiro vamos observar que o foco e o centro estão alinhados paralelos a "x", já que os valores de "y" são iguais, ou seja, essa hipérbole é do tipo que contém o eixo real sobre o eixo "x" e o eixo imaginário sobre "y", logo a mesma possuirá a seguinte equação base:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \boxed{ \frac{x {}^{2} }{a {}^{2} } - \frac{y {}^{2} }{b {}^{2} } = 1 }$

Observe que o centro dessa hipérbole não se encontra na origem, então devemos subtrair os valores do centro na equação, isto é:

$\frac{(x -x_0) {}^{2}}{a {}^{2} } - \frac{( y - y_0) {}^{2} }{b {}^{2} } = 1 \\\sf Sendo \:x_0 \: e \: y_0 \: as \: coordenadas \: do \: centro \: C=(x_0,y_0)$

Pela geometria analítica, sabemos que a distância do centro até os focos é a mesma, como o centro na está na origem, vamos ter que fazer a subtração da coordenada "x" do foco, pela coordenada "x" do centro, fazendo isso teremos que o foco dessa hipérbole mede:

$9 - 5 = 4, \: \: logo \: c = 4$

Agora vamos analisar o dado que nos diz que o eixo imaginário mede 4√2, ou seja, essa medida corresponde ao valor de "b" multiplicado por 2, então vamos fazer o inverso e encontrar "b":

$2b = 4 \sqrt{2} \longrightarrow b = \frac{4 \sqrt{2} }{2} \longrightarrow b = 2\sqrt{2}$

Sabendo desses dois dados, podemos encontrar o valor de "a" que representa metade do eixo real, para fazer esse cálculo devemos usar a relação pitagórica, mas da seguinte forma:

$c {}^{2} = a {}^{2} + b {}^{2} \longrightarrow 4 {}^{2} = a {}^{2} + (2 \sqrt{2} ) {}^{2} \\ \\ 16 =a {}^{2} + 4.2 \longrightarrow16 = a {}^{2} + 8 \\ \\ a {}^{2} = 8 \longrightarrow \boxed{ a = 2 \sqrt{2} }$

Pronto, agora é só substituir os dados na relação:

$\frac{(x - 5) {}^{2} }{(2 \sqrt{2} ) {}^{2} } - \frac{(y - 1) {}^{2} }{(2 \sqrt{2} ) {}^{2} } = 1\longrightarrow \frac{(x- 5) {}^{2} }{8} - \frac{(y - 1) {}^{2} }{8} = 1 \\ \\ \boxed{ \boxed{ \boxed{\frac{(x - 5) {}^{2} - (y - 1 ){}^{2} }{8} = 1}}}$

Espero ter ajudado