Question

[Geometria analítica, Álgebra linear]

Sejam a reta r : (x, y, z) = (1, 1, 1) + (2t, mt, t) e o plano paralelo aos vetores V1 = (1, 2, 0) e V2 = (1, 0, 1) passando pela origem.

Determine o valor de m para que a reta seja paralela ao plano. Para o valor de m encontrado a reta esta contida no plano?

Answer 1

Boa tarde!

Se a reta é paralela ao plano, a mesma é ortogonal ao vetor normal do plano.
Calculando a normal do plano:
$\vec{n}=(1,2,0)\times(1,0,1)\\\vec{n}=(2,-1,-2)$

Agora, para obter uma 'direção' ortogonal ao vetor normal deste plano:
$(2,m,1)\cdot(2,-1,-2)=0\\4-m-2=0\\m=2$

Então, para m = 2 esta reta é paralela (ou contida), no plano. Para saber, basta verificar se algum ponto da reta pertence (ou não) ao plano.
Verificando o ponto (1,1,1) da reta:
(1,1,1)-(0,0,0)=(1,1,1) => vetor obtido pela diferença entre o ponto da reta e a origem do plano. Agora, só verificar se este vetor é ortogonal ao normal do plano.
$(1,1,1)\cdot(2,-1,-2)=2-1-2=-1$

Para ser ortogonal, teria que ter dado zero. Portanto, a reta é paralela (não contida), no plano. Não há valor de m para fazer a reta estar contida no plano.

Espero ter ajudado!