Question

GEOMETRIA ANALÍTICA - 15 pontos
"De um triângulo ABC sabemos que A(1, 0, 2), B(3, 1, 1) e ACº = [(Raíz de 2]/2, 0, [Raíz de 2]/2).
Determine a altura do triângulo ABC em relação a base AC."

Answer 1

AB= B-A(2,1,-1)
modulo AB= raiz 2^2+1^2+(-1)^2
modulo AB= raiz 6

AB.AC
raiz 2/2 .raiz 6
raiz 12/2= 2raiz 3/2= raiz 3

Answer 2

Temos dois vértices do triângulo:

$A(1;\,0;\,2)\;\text{ e }\;B(3;\,1;\,1)$


e um versor da base do triângulo

$\overrightarrow{AC}^{\circ}=(\frac{\sqrt{2}}{2};\,0;\,\frac{\sqrt{2}}{2})\\ \\ \overrightarrow{AC}^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot (1;\,0;\,1)$


O vetor $\overrightarrow{AB}$ é

$\overrightarrow{AB}=B-A\\ \\ \overrightarrow{AB}=(3;\,1;\,1)-(1;\,0;\,2)\\ \\ \overrightarrow{AB}=(3-1;\,1-0;\,1-2)\\ \\ \overrightarrow{AB}=(2;\,1;\,-1)$


Sendo $\theta$ o ângulo entre o vetor $\overrightarrow{AB}$ e o versor $\overrightarrow{AC}^{\circ}\;\;(0\leq \theta \leq \pi),$ a altura relativa ao lado $AC$ é

$h=\|\overrightarrow{AB}\|\cdot \mathrm{sen\,}\theta\\ \\ h=\|\overrightarrow{AB}\|\cdot 1\cdot \mathrm{sen\,}\theta\\ \\ h=\|\overrightarrow{AB}\|\cdot \|\overrightarrow{AC}^{\circ}\|\cdot \mathrm{sen\,}\theta$


No lado direito da última linha acima, temos o módulo do produto vetorial entre $\overrightarrow{AB}$ e $\overrightarrow{AC}^{\circ}.$ Portanto,

$h=\|\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}^{\circ}\|\;\;\;\;\mathbf{(i)}$


Encontrando o produto vetorial entre $\overrightarrow{AB}$ e $\overrightarrow{AC}^{\circ}:$

$\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}^{\circ}=(1;\,0;\,2)\times [\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot (1;\,0;\,1)]\\ \\ \\ \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot (1;\,0;\,2)\times(1;\,0;\,1)\\ \\ \\ \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \det\left[ \begin{array}{ccc} \hat{\mathbf{i}}&\hat{\mathbf{j}}&\hat{\mathbf{k}}\\ 1&0&2\\ 1&0&1 \end{array} \right ]\\ \\ \\ \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot (2\hat{\mathbf{j}}-\hat{\mathbf{j}} )\\ \\ \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}\,\hat{\mathbf{j}}\\ \\ \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot (0;\,1;\,0)$


Então, pela equação $\mathbf{(i)},$ a altura do triângulo $ABC$ em relação à base $AC$ é

$h=\|\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot (0;\,1;\,0)\|\\ \\ h=|\frac{\sqrt{2}}{2}|\cdot \|(0;\,1;\,0)\|\\ \\ h=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \sqrt{0^{2}+1^{2}+0^{2}}\\ \\ h=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \sqrt{1}\\ \\ \boxed{\begin{array}{c}h=\frac{\sqrt{2}}{2}\text{ u.c.} \end{array}}$


Obs.: Veja que não precisamos saber o módulo do vetor $\overrightarrow{AC},$ apenas a sua direção.