Question

GENTEE ME AJUDA Simplifique a expressão y = (tg2x + 1)(cotg2x + 1).

Answer 1

Queremos simplificar a expressão y = (tg²(x) + 1)(cotg²(x) + 1).

Primeiramente, vamos relembrar a definição de tangente e cotangente:

$tg(x) = \frac{sen(x)}{cos(x)}$ e $cotg(x)=\frac{cos(x)}{sen(x)}$.

Sendo assim,

$tg^2(x) = \frac{sen^2(x)}{cos^2(x)}$ e $cotg^2(x) = \frac{cos^2(x)}{sen^2(x)}$.

Fazendo essa substituição na expressão inicial, obtemos:

$y = (\frac{sen^2(x)}{cos^2(x)}+1)(\frac{cos^2(x)}{sen^2(x)}+1)$.

Daí,

$y=(\frac{sen^2(x)+cos^2(x)}{cos^2(x)})(\frac{cos^2(x)+sen^2(x)}{sen^2(x)})$.

Sabemos que a relação fundamental da trigonometria nos diz que:

sen²(x) + cos²(x) = 1.

Logo,

$y = \frac{1}{cos^2(x)}.\frac{1}{sen^2(x)}$.

Portanto, podemos concluir que a forma simplificada da expressão é:

y = sec²(x).csc²(x).