Question

Gente tô tentando resolver esse exercício mas não vejo como já que a primeira equação não possui termo independente. ME AJUDEM!!

Duas das raízes do polinômio A(x) = 2x4 + x3 - 5x2 – 6x são -1 e 2, e uma das raízes do polinômio B(x) = x3 – 6x2 + 3x + 10 é 5.
Simplifique a expressão
A(x)/B(x)

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Elaine, que a resolução é simples.
Agora há que informar o seguinte: a função A(x) que você deu não deverá ter a escrita como a que você postou, pois se ela tiver a escrita exatamente como postada, então duas de suas raízes não poderiam ser "-1" e "2". Para que duas de suas raízes sejam "-1" e "2", então a escrita de A(x) deverá ser esta (no lugar de "-5x²" deverá ser "-7x²"), ou seja, A(x) deverá ser assim:

A(x) = 2x⁴ + x³ - 7x² - 6x.

i) Então vamos considerar a escrita de A(x) como propomos aí em cima. E se duas de suas raízes são "-1" e "2", logo o polinômio A(x) será divisível (deixa resto zero) por D(x) = (x-(-1))*(x-2) ---> D(x) = (x+1)*(x-2) = x²-x-2.
Portanto, vamos efetuar a divisão de A(x) por D(x) pelo método tradicional, que é este:

2x⁴ + x³ - 7x² - 6x |_x²-x-2_ <--- divisor
. . . . . . . . . . . . . . .2x² + 3x <--- quociente
-2x⁴+2x³+4x²
---------------------
0 + 3x³ - 3x² - 6x
...- 3x³ + 3x² +6x
-------------------------
......0........0.....0 <--- Veja que o resto é zero e tinha que ser mesmo, pois A(x) é divisível por D(x).

Agora note que ficamos com o quociente q(x) = 2x² + 3x .
Então vamos encontrar quais são as outras duas raízes, utilizando o quociente acima. E, para encontrar suas raízes o igualaremos a zero, ficando assim:

2x² + 3x =  0 ---- vamos colocar "x" em evidência, com o que ficaremos:
x*(2x+3) = 0 --- note que temos aqui o produto entre dois fatores cujo resultado é nulo. Quando isso ocorre, um dos fatores é nulo. Então teremos as seguintes possibilidades:

ou
x = 0 ---> x' = 0

ou
2x+3 = 0 ---> 2x = - 3 ---> x'' = - 3/2.

Assim, todas as quatro raízes do polinômio A(x) serão estas (colocando as raízes em ordem crescente):

x' = -3/2; x'' = - 1; x''' = 0; x'''' = 2.

Dessa forma, o polinômio A(x) poderá ser expresso em função de suas raízes da seguinte forma [note que uma equação da forma ax⁴+bx³+cx²+dx+e, com raízes iguais a x', x'', x''' e x'''', poderá ser expressa em função de suas raízes da seguinte forma: ax⁴+bx³+cx²+dx+e = a*(x-x')*(x-x'')*(x-x''')*(x-x'''')]:

2x⁴ + x³ - 7x² - 6x = 2*(x-(-3/2))*(x-(-1))*(x-0)*(x-2)
2x⁴ + x³ + x³ - 7x² - 6x = 2*(x+3/2)*(x+1)*(x)*(x-2) ---- como na multiplicação a ordem dos fatores não altera o produto, então poderemos levar o fator "x" (que está sozinho) para logo após o "2", ficando assim:

2x⁴ + x³ - 7x² - 6x = 2x*(x+3/2)*(x+1)*(x-2)       . (I)

ii) Agora vamos para o polinômio B(x), que é este:

B(x) = x³ - 6x² + 3x + 10 e que tem uma de suas raízes igual a "5". Então vamos dividir B(x) por D(x) = (x-5) e depois encontraremos as outras duas raízes de B(x) a partir do quociente que encontrarmos na divisão proposta acima. Assim, fazendo o mesmo que fizemos para A(x), teremos:

x³ - 6x² + 3x + 10 |_x-5_ <--- divisor
. . . . . . . . . . . . . . .  x² - x - 2 <--- quociente
-x³+5x²
-------------------
0 - x² + 3x + 10
...+x² - 5x
------------------------
.....0 - 2x + 10
.......+ 2x - 10
-------------------------
...........0......0  <--- Veja que tinha que dar zero mesmo, pois B(x) é divisível por D(x).

Agora vamos tomar o quociente que ficou, e que é: q(x) = x²-x-2. Para encontrar suas raízes vamos igualá-lo a zero, ficando:

x² - x - 2 = 0 ----- aplicando Bháskara, você encontrará as seguintes raízes (que serão as outras raízes de B(x)):

x' = -1
x'' = 2

Como uma das suas raízes de B(x) nós já vimos (e que era igual a "5"), então todas as três raízes de B(x) serão estas (colocando as raízes em ordem crescente):

x' = -1; x'' = 2; x''' = 5

Da mesma forma que fizemos com A(x), então veja que o polinômio B(x) poderá ser expresso em função de suas raízes da seguinte forma:

x³ - 6x² + 3x + 10 = 1*(x-(-1))*(x-2)*(x-5)
x³ - 6x² + 3x + 10 = (x+1)*(x-2)*(x-5)           . (II).

iii) Agora, finalmente, vamos ao que está sendo pedido, que é simplificar a expressão A(x) / B(x). Assim, teremos:

A(x) / B(x) = (2x⁴+x³-7x²-6x)/(x³-6x²+3x+10) ---- expressando A(x) e B(x) em função de suas raízes, conforme deixamos lá nas expressões (I) e (II), teremos:

A(x) / B(x) = [2x*(x+3/2)*(x+1)*(x-2)] / [(x+1)*(x-2)*(x-5)] ---- simplificando-se (x+1)*(x-2) do numerador, com (x+1)*(x-2) do denominador, ficaremos apenas com:

A(x) / B(x) = [2x*(x-3/2)] / [(x-5)]

Note que o fator (x - 3/2) = (2*x-1*3)/2 = (2x-3)/2 .Assim, fazendo esta substituição, teremos;

A(x) / B(x) = [2x*(2x-3)/2 / (x-5) --- simplificando-se "2" do numerador com o "2" do denominador, iremos ficar apenas com:

A(x) / B(x) = x*(2x-3) / (x-5) <--- Esta é a resposta. É assim que fica no final, após fazermos todas as simplificações.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.