Question

Gente por favor só peço que me ajudem! (Com explicação)

Answer 1

Temos um quadrado que é gradativamente reduzido. O primeiro tem o lado medindo Q1, o segundo medindo Q2 e o terceiro Q3. A questão quer saber qual a razão da área do Q3 e Q1.

Primeiro vamos encontrar as medidas dos lados de cada um desses quadrados.

→ Quadrado (Q2):

Se você observar o Q2 é basicamente um quadrado em outra perspectiva. Para encontrar o lado desse quadrado, vamos montar um triângulo retângulo (como mostra a imagem), sendo os catetos desse triângulo a metade do lado Q1, então, temos que:

$Q2^2 = \left( \frac{Q1}{2} \right)^2 + \left( \frac{Q1}{2} \right)^2 \\ \\ Q2^2 = \frac{Q1^2}{4} + \frac{Q1^2}{4} \\ \\ Q2^2 = \frac{2 Q1^2 }{4} \\ \\ Q2^2 = \frac{Q1^2}{2} \\ \\ Q2 = \sqrt{ \frac{Q1^2}{2} } \\ \\ Q2 = \frac{Q1 \sqrt{2} }{2}$

Portanto sabemos que o lado do quadrado Q2 é basicamente o valor do Q1 multiplicado por √2 e também dividido por 2.

→ Quadrado (Q3):

Vamos fazer a mesma coisa de montar um triângulo retângulo no quadrado Q3 (mostrado na imagem). A medida dos catetos do triângulo retângulo formado é igual a metade do lado do quadrado Q2, então:

$\frac{ \frac{Q1 \sqrt{2} }{2} }{2} = \frac{Q1 \sqrt{2} }{2} . \frac{1}{2} = \frac{Q1 \sqrt{2} }{4}$

Portanto os catetos possuem essa medida. Calculando agora a hipotenusa que representa o lado do quadrado, temos que:

$Q3 {}^{2} = \left(\frac{Q1\sqrt{2}}{4}\right)^2 + \left(\frac{Q1\sqrt{2}}{4}\right)^2 \\ \\ Q3 {}^{2} = \frac{Q1 {}^{2} ( \sqrt{2}) {}^{2} }{16} + \frac{Q1 {}^{2} ( \sqrt{2}) {}^{2} }{16} \: \: \: \\ \\ Q3 {}^{2} = \frac{2Q1 {}^{2} }{16} + \frac{2Q1 {}^{2} }{16} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ Q3 {}^{2} = \frac{4 Q1 {}^{2} }{16} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ Q3 = \sqrt{ \frac{Q1 {}^{2} }{4} } \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ Q3 = \frac{Q1}{2} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Portanto a medida do lado do quadrado (Q3) é igual a metade do lado Q1.

• Agora que calculamos a medida dos lados, vamos calcular a área do quadrado Q1 e a área do quadrado Q3, já que são eles 2 que interessam para a questão.

A área de um quadrado é dada pelo quadrado da medida do lado do quadrado, então:

$A_{Q_1}=(\ell)^2 \: \: \: \: \: \: \: \\ A_{Q_1}=Q1 \: . \: Q1 \\ A_{Q_1}=Q1 {}^{2} \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ A_{Q_3} = (\ell)^2 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ A_{Q_3} = \frac{Q1 }{2} \: . \: \frac{Q1}{2} \\ A_{Q_3}= \frac{Q1 {}^{2} }{4} \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Agora basta fazer a razão das áreas, ou seja, a área 3 dívida pela area 1:

$\frac{A_{Q_3}}{A_{Q_1}}= \frac{ \frac{ Q1 {}^{2} }{4} }{Q1 {}^{2} } = \frac{Q1 {}^{2}}{4} . \frac{1}{Q1 {}^{2}} = \boxed{ \boxed{ \boxed{\frac{1}{4} }}}$

Portanto a razão das áreas Q3 e Q1 é 1/4.

Espero ter ajudado