Question

gente por favor me ajuda resolver essas equações biquadradas

Answer 1

Gente por favor me ajuda resolver essas equações biquadradas

equação BIQUADRADA (tem) 4 raizes

a)

x⁴ - 6x² + 8 = 0   faremos ARTIFICIO( substituir) por
x⁴ = y²
x² = y

x⁴ - 6x² + 8 = 0 fica
y² - 6y + 8 = 0     ( equação do 2º grau)
a = 1
b = - 6
c = 8
Δ = b² - 4ac 
Δ = (-6)² - 4(1)(8)
Δ = + 36 - 32
Δ = + 4 ------------------>√Δ = 2  ( porque √4 = 2)
se
Δ > 0 ( DUAS raizes diferentes) distintas
(baskara)
       - b + - √Δ
y = -----------------
            2a

y' = -(-6) - √4/2(1)
y' = + 6 - 2/2
y' = + 4/2
y' = 2
e
y" = -(-6) + √4/2(1)
y" = + 6 + 2/2
y" = + 8/2
y" = 4

(voltando no ARTIFICIO)
x² = y
y' = 2
x² = 2
x = + - √2  ( duas raizes)
e
 x² = y
y" = 4
x² = 4
x = + - √4     ( lembrando que: √4 = 2)
x = + - 2   ( duas raizes)

assim as 4 raizes
 
x' = - √2
x" = + √2
x'" = - 2
x"" = + 2

b)  ( SEGUE TODOS as mesmas  INSTRUÇÃO acima)

2x⁴ - 26x² + 72 = 0   ( podemos DIVIDIR tudo por 2)  facilita

x⁴ - 13x² + 36 = 0    (DA mesmo resultado)
x⁴ = y²
x² = y
x⁴ - 13x² + 36 = 0 fica
y² - 13y + 36 = 0
a = 1
b = - 13
c = 36
Δ = b² - 4ac
Δ = (-13)² - 4(1)(36)
Δ = + 169 - 144
Δ =  25 --------------> √Δ = 5   ( porque √25 = 5)
se
Δ > 0 ( DUAS raizes diferentes) distintas
(baskara)
       - b + - √Δ
y = -----------------
            2a

y' = -(-13) - √25/2(1)
y' = + 13 - 5/2
y' = 8/2
y' = 4
e
y" = -(-13) + √25/2(1)
y" =+ 13 + 5/2
y" = + 18/2
y" = 9

( voltando no ARTIFICIO)
X² = Y
y = 4
x² = 4
x = + - √4        (√4 = 2)
x = + - 2  ( duas raizes)
e
x² = y
y" = 9
x² = 9
x = + - √9      (√9 = 3)
x = + - 3  ( 2 raizes)

assim 4 raizes
x'  = - 2
x" = + 2
x'" = - 3
x"" = + 3

c)
x⁴ - 144 = 0         144| 2
x⁴ = + 144             72| 2
                              36| 2
                              18| 2
                                9| 3
                                3| 3
                                1 /    = 2.2.2.2.3.3
                                           2⁴.3.3
                                            2⁴.9
x = ⁴√144
x = ⁴√2⁴.9   ( elimina a ⁴√(raiz a quarta) com o (⁴)  fica
x = 2(⁴√9)  resposta


d)
x⁴ + 35 = 0
x⁴ = - 35
x = ⁴√-35  ( NÃO existe RAIZ real)
x = ∅
RAIZ com índice PAR com número NEGATIVO

e)
x⁴ + 5x² = 0
x²(x² + 5) = 0
x² = 0
x = + -√0
x = + - 0
x = 0
e
(x² + 5) = 0
x² + 5 = 0
x² = - 5
x = + - √- 5   ( não existe RAIZ REAL)
x = ∅
RAIZ quadrada e RAIZ com índice PAR com número NEGATIVO

3)  temos QUE eliminar AS RAIZES

a)  lembrando que (√) = (²)

√x + 5 = 7
x + 5 = 7²
x + 5 = 7x7
x + 5 = 49
x = 49 - 5
x = 44

b)

√2x + 5 = 9
2x + 5 = 9²
2x + 5 = 9x9
2x + 5 = 81
2x = 81 - 5
2x = 76
x = 76/2
x =  38

c)  lembrando que (∛) = (³)

∛3x - 17 = 4
3x - 17 = 4³
3x - 17 = 4x4x4
3x - 17 =  64
3x = 64 + 17
3x = 81
x = 81/3
x =  27

e)   temos AMBOS com RAIZ ( basta eliminar)

√2x² + 4x + 2 = √x² + 23    ( elimina AMBAS raizes)

2x² + 4x + 2 = x² + 23   ( igualar a ZERO) atenção no sinal
2x² + 4x + 2 - x² - 23 = 0   junta termos iguais
2x² - x² + 4x + 2 - 23 = 0
1x² + 4x - 21 = 0   ( equação do 2º grau)
a = 1
b = 4
c = - 21
Δ = b² - 4ac
Δ = (4)² - 4(1)(-21)
Δ = + 16 + 84
Δ = + 100 ---------------------> √Δ = 10  ( porque √100 = 10)
 se
Δ > 0 ( DUAS raizes diferentes)
(baskara)
        - b + - √Δ
x = -----------------
              2a

x' = - 4 - √100/2(1)
x' =- 4 - 10/2
x' = - 14/2
x' = - 7
e
x" = - 4 + √100/2(1)
x" = - 4 + 10/2
x" = + 6/2
x" = + 3

assim
x' = - 7
x" = 3