Question

Gente por favor dá uma ajudinha nessa questão de Introdução à Álgebra Linear. 1º) Os autovalores do operador linear T: R³ -> R³ e sabendo-se que os autovetores u=(1,-1,2), v=(1,2,0) e w=(1,0,0) são associados aos autovalores y1=4, y2=-1 e y3=2, respectivamente, então, o vetor T(u-2v+3w) é: a) (8, 12, 4) b) (12, 0, 8) c) (10, 2, 4) d) (14, 0, 4) e) (12, 8, 0) Se possível o desenvolvimento da questão, caso contrário pode ser apenas a alternativa correta. Obrigado.

Answer 1

Olá, Hiang.

 

Se  $<var>u,v,w</var>$  são autovetores e  $<var>y_1,y_2,y_3</var>$  são autovalores então satisfazem as seguintes identidades:

 

$<var>Tu=y_1u\\Tv=y_2v\\Tw=y_3w</var>$

 

Observação: autovetores e autovalores são vetores e valores que possuem a propriedade especial de não alterarem a direção de um vetor após aplicada a transformação linear T. Voltemos.

 

Vou fazer o início dos cálculos para o autovetor  $<var>u</var>$  e para o autovalor  $<var>y_1.</var>$

Os cálculos para os outros dois autovalores e autovetores é análogo.

 

$<var>Tu=y_1u \Rightarrow \left[\begin{array}{ccc}t_{11}&t_{12&t_{13\\t_{21&t_{22&t_{23\\t_{31&t_{32&t_{33\end{array}\right] \left[\begin{array}{c}1\\-1\\2\end{array}\right] = 4 \left[\begin{array}{c}1\\-1\\2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}4\\-4\\8\end{array}\right]</var>$

 

Fazendo o mesmo para os autovetores  $<var>v,w</var>$  e  seus respectivos autovalores associados $<var>y_2,y_3</var>$, vamos obter um sistema linear 3x3 para $<var>t_{11},t_{12},t_{13},</var>$  outro para $<var>t_{21},t_{22},t_{23},</var>$  e outro para  $<var>t_{31},t_{32},t_{33}</var>$.  

 

Resolvidos os três sistemas 3x3 e, ao final, encontrados os valores de $<var>t_{11},t_{12},...,t_{32},t_{33},</var>$  está encontrada, portanto, a matriz T, chamada de operador linear.

 

Calcule agora u - 2v + 3w (adição trivial de vetores multiplicados por escalares).

 

Por último, T(u - 2v + 3w) é a multiplicação de matriz por vetor Tz, onde z = u - 2v + 3w.