Question

Gente, por favor alguém me ajuda com essas 3 questões? Eu já tentei desenvolver alguma coisa mas não consegui, por favor é urgente.

1-(Oswaldo Cruz - SP)A soma das raízes da equação 2sen²x = 1– senx, no intervalo [0, 2$\pi$], vale:

a) $7\frac{\pi}{2}$
b) $5\frac{\pi}{2}$
c) $9\frac{\pi}{2}$
d) 2$\pi$


2)O conjunto solução da inequação |3tgx| ≥ √3, para 0 ≤ 2x ≤ 2π, é:

a){x ∈ R/ k$\pi +\frac{\pi }{6} \leq x\leq \frac{5\pi }{6} +k\pi$, k ∈ Z}

b)[$\frac{\pi}{6} ,\frac{5\pi}{6}$}

c)[$\frac{\pi}{6} ,\frac{\pi}{2}$[ ∪ ]$\frac{\pi}{2} ,\frac{5\pi}{6}$]

d)S = {x ∈ R/$\frac{\pi }{6} \leq x\leq \frac{5\pi }{6}$ e $x\neq \frac{\pi}{4} +k\pi$, k ∈ Z}

e))[$\frac{\pi}{6} ,\frac{5\pi}{2}$] ∪ [$\frac{7\pi}{6} ,\frac{11\pi}{6}$]

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Answer 1

1) Faça uma substituição de variáveis.

a = sen(x)

Agora substitua:

2.a^2 = 1 - a

2.a^2 + a - 1 = 0

a' = -1 e

a" = 1/2

Ou seja, como x está entre 0 e 2pi:

-1 = sen(x) => x = 3pi/2

1/2 = sen(x) => x = pi/6 ou x = 5pi/6

Soma das raízes:

3pi/2 + pi/6 + 5pi/6 =

3pi/2 + pi =

5pi/2

R: B)

2) Antes de tudo observe que o intervalo é:

0 <= 2x <= 2pi

Dividindo tudo por 2:

0 <= x <= pi

Manipulando a equação, chegamos em:

$| 3.\tan(x) | \geqslant \sqrt{3} \\ \\ | \tan(x) | \geqslant \frac{\sqrt{3}}{3} \\ \\ \begin{cases}tan(x) \leqslant - \frac{ \sqrt{3} }{3}\\tan(x) \geqslant \frac{ \sqrt{3} }{3}\end{cases}$

De 0 a pi, sabemos que a tangente de pi/6 é (raiz 3)/3 e a tangente de 5pi/6 é -(raiz 3)/3. O problema é que a tangente de pi/2 não existe, então devemos formar dois intervalos.

$\left[\dfrac{\pi}{6},\dfrac{\pi}{2}\right[ ~\mathsf{U}~\left]\dfrac{\pi}{2},\dfrac{5.\pi}{6}\right]$

R: C)

3) R: B)