Question

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Quais são as propriedades de uma progressão aritmética, e depois faça uma questão usando cada uma delas

Answer 1

1º)

Progressão aritmética é um tipo de seqüência numérica que a partir do segundo elemento cada termo (elemento) é a soma do seu antecessor por uma constante. 

(5,7,9,11,13,15,17) essa seqüência é uma Progressão aritmética, pois os seus elementos são formados pela soma do seu antecessor com a constante 2. 
a1 = 5 
a2 = 5 + 2 = 7 
a3 = 7 + 2 = 9 
a4 = 9 + 2 = 11 
a5 = 11 + 2 = 13 
a6 = 13 + 2 = 15 
a7 = 15 + 2 = 17 


2º)
Essa constante é chamada de razão e representada por r. Dependendo do valor de r a progressão aritmética pode ser crescente, constante ou decrescente. 

P.A crescente: r > 0, então os elementos estarão em ordem crescente. 

P.A constate: r = 0, então os elementos serão todos iguais. 

P.A decrescente: r < 0, então os elementos estarão em ordem decrescente.

3º)
Termo Geral de uma P.A 

Considere uma P.A finita qualquer (a1, a2, a3, a4, ... , an) de razão igual a r, sabemos que: 

a2 – a1 = r → a2 = a1 + r 
a3 – a2 = r → a3 – a1 – r = r → a3 = a1 + 2r 
a4 – a3 = r → a4 – a1 – 2r = r → a4 = a1 + 3r 
… 

a n = a1 + (n – 1) . r   ( FÓRMULA)


4º)
Portanto o termo geral de uma P.A é calculado utilizando a seguinte fórmula: 

a n = a1 + (n – 1) . r 


exemplo de CADA
Exemplo 1: 
Calcule o 16º termo de uma P.A, sabendo que a1 = -10 e r = 3. 

an = a1 + (n – 1) . r 
a16 = -10 + (16 – 1) . 3 
a16 = -10 + 15 . 3 
a16 = -10 + 45 
a16 = 35 

O 16º termo de uma P.A é 35. 

Soma dos termos de uma P.A finita 

Se tivermos uma P.A finita qualquer, para somarmos os seus termos (elementos) chegaremos à seguinte fórmula para somarmos os n elementos de uma P.A finita. 

         (a1 + an) . n
Sn = -----------------     ( FÓRMULA da soma da PA) 
                    2 

Exemplo 2: 

Determine uma P.A sabendo que a soma de seus 8 primeiros termos é 324 e que 
a8 = 79. 

Retirando os dados: 
n = 8 
Sn = 324 
a8= 79 

       (a1 + an) . n 
Sn = -----------------
                2 

         (a1 + 79) . 8 
324 = --------------------
                     2     ( o 2(dois) está dividindo PASSA multiplicando)


324 . 2 = 8a1 + 79 . 8 
648 = 8a1 + 632 
16 = 8a1 

8a1 = 16
a1 = 16/8
a1 = 2 

Precisamos encontrar o valor de r (razão) para encontrar o valor dos outros elementos. 

a n = a1 + (n – 1) . r 
79 = 2 + (8 – 1) . r 
79 = 2 + 7 . r 
79 – 2 = 7r 
77 = 7r

 7r= 77
r = 77/7

r = 11   ( r = razão)