Question

Gente no gabarito a resposta ée 3, tôo precisando do calculo me ajudem. desde já muito Obrigadoo!

Answer 1

Acho que o gabarito está errado, pois resolvendo a questão, encontrei a letra A. Confira meu cálculo e veja se há algo errado

A questão busca o valor de:

$\dfrac{\text{cosec}\;x-\text{sec}x}{\text{cotg}x-1}$

Desenvolvendo a expressão, temos:

$\dfrac{\dfrac{1}{\sin x}-\dfrac{1}{\cos x}}{\dfrac{\cos x}{\sin x}-1}$

$\dfrac{\dfrac{\cos x-\sin x}{\sin x\cdot\cos x}}{\dfrac{\cos x-\sin x}{\sin x}}=\dfrac{\cos\;x-\sin x}{\sin x\cdot\cos x}\times\dfrac{\sin x}{\cos x-\sin x}$

$=\dfrac{1}{\cos x}$

Agora calculamos $\cos x$:

$\sin^{2}x+\cos^{2}x=1$

$(\dfrac{1}{3})^{2}+\cos^{2}x=1$

$\dfrac{1}{9}+\cos^{2}x=1$

$\cos^{2}x=1-\dfrac{1}{9}=\dfrac{9-1}{9}$

$\cos^{2}x=\dfrac{8}{9}\Longrightarrow \cos x=\sqrt{\dfrac{8}{9}}$

$\cos x=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$

Agora podemos calcular o valor da expressão:

$\dfrac{1}{\cos x}=\dfrac{1}{\frac{2\sqrt{2}}{3}}=\dfrac{3}{2\sqrt{2}}$

$\dfrac{3}{2\sqrt{2}}=\dfrac{3}{2\sqrt{2}}\times\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\dfrac{3\sqrt{2}}{4}\Longrightarrow$ Letra $A$

$Resposta$: Letra $A$