Question

Gente, não consigo resolver essa questão de jeito nenhum. Alguém aí pode me ajudar?
Sendo V7+4v3 = p + qV3, então p + q é igual a
Obs: 7+4v3 estão dentro de uma raiz.

Answer 1

Olá
$\sqrt{7+4 \sqrt{3} }=p+q \sqrt{3} \\ Elevando..ao ..quadrado..temos: \\ \\ ( \sqrt{7+4 \sqrt{3} })^{2} =(p+q \sqrt{3} )^{2}$

7+4√3=p²+2pq√3+3q² ..agrupando temos:

7  +  4√3 =(p²+3q²)+2pq√3
 |_____|____|           |
            |__________|
igualando termos temos:
7=(p²+3q²) .....................(I)

4√3=2pq√3......cortamos raiz (√3) da expressão fica:
4=2pq
pq=4/2
pq=2 ...........isolando (q) temos:
q=2/p.......................(II)
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Agora susbtituindo (II) em (I) temos:
7=(p²+3q²)...sendo  [q=2/p]  substituindo temos:
7=p²+3(2/p)²
7=p²+ 12/p²
7p²=p².p²+12
7p²=p⁴+12
p⁴-7p²+12=0 .............fazendo [p²=x] substituindo temos:
x²-7x+12=0     resolvendo por bhaskara temos:

$\frac{- b^{2}+- \sqrt{ b^{2} -4ac} }{2a}$
Dados:
a=1
b=-7
c=12
Substituindo dados na formula temos:

$\frac{7+- \sqrt{(-7)^{2} -4.1.12} }{2.3} \\ \\ \frac{7+- \sqrt{49-48} }{6} \\ \\ \frac{7+- \sqrt{1} }{6} \\ \\ \frac{7+-1}{6} \\ \\ x_{1}= \frac{7+1}{6} = \frac{4}{3} \\ \\ x_{2} = \frac{7-1}{6} =1$

agora como nos demos o valor q²=x voltamos  a  seu valor normal:

x₁=4/3  sendo q²=x ...substituindo temos:
q²=4/3
q=₊⁻√4/3

q₁=2√3/3
q₂= -(2√3)/3

x₂=1 ....sendo q²=x  substituimos tambem
q²=1
q=₊⁻√1
q₃=1
q₄= -1
entao o que satisfaz a equaçao é [q₃=1]
Entao o valor de:

q=1
p=2/p .....sendo p=1 substituindo temos:
p=2/1
p=2
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por tanto os valores sao:
p=2
q=1

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                                                Espero ter ajudado!!