Question

Gente me ajudem nessa aqui rapidoooo:
Determine o ultimo termo da PA ( 9, 6, 3, ..., an), sabendo que a soma de seus termos é -27

Answer 1

sabendo que 

an=9+(n-1)-3 = 9-3n+3 =-3n+12

-27=(9+an).n/2

substituindo 

-54=(9-3n+12).n
-54=(-3n+21).n
-54=-3n²+21n
-3n²+21n+54=0

Δ=21²-4.(-3).54
Δ=441+648
Δ=1089

n=-21+-√1089/2.(-3)
n=-21+-33/-6
n=-21+33/-6 = 12/-6= -2 
n''=-21-33/-6= -54/-6=  9 < serve 

logo o numero de termos é 9 

o ultimo termo é 

-3n+12 substituindo 
-3.9+12 = -27+12 = -15 

Logo o ultimo termo é -15 

Espero ter ajudado! 

Answer 2

Olá Luciana,

vamos identificar os termos desta P.A.:

$\begin{cases}\mathsf{a_1=9}\\ \mathsf{r=(a_2-a_1)=6-9=-3}\\\mathsf{S_n=-27}\\ \mathsf{a_n=?}\\ \mathsf{n=?}\end{cases}$

Vamos então substituir estes dados na fórmula do termo geral da P.A.:

$\mathsf{a_n=a_1+(n-1)r}\\ \mathsf{a_n=9+(n-1)\cdot(-3)}\\ \mathsf{a_n=9-3n+3}\\ \mathsf{a_n=12-3n}\\ \mathsf{-3n=a_n-12}\\ \mathsf{3n=-a_n+12 }\\\\ \mathsf{n=- \dfrac{a_n+12}{3} }$

Feito isso, vamos substituir an, na fórmula da soma dos n primeiros termos da P.A. finita:

$\mathsf{S_n= \dfrac{(a_1+a_n)n}{2} }\\\\\\ \mathsf{ \dfrac{(9+a_n)\cdot\left( -\dfrac{a_n+12}{3}\right)}{2}=-27 }\\\\\\ \mathsf{ (a_n+9)\cdot\left(- \dfrac{a_n+12}{3}\right)=(-27)\cdot2 }\\\\\\ \mathsf{ \dfrac{-(a_n)^2+12a_n-9a_n+108}{3} =-54}\\\\\\ \mathsf{-(a_n)^2+3a_n+108=(-54)\cdot3}\\ \mathsf{-(a_n)^2+3a_n+108=-162}\\ \mathsf{-(a_n)^2+3a_n+270=0~~(multiplica~por~-1)}\\\mathsf{(a_n)^2-3a_n-270=0~~(eq.~do~2^o~grau)}$

$\mathsf{\Delta=3^2-4\cdot1\cdot(-270)}\\ \mathsf{\Delta=9+1.080}\\ \mathsf{\Delta=1.089}\\\\ \mathsf{\Delta=3^2-4\cdot1\cdot(-270)}\\ \mathsf{\Delta=9+1.080}\\\\ \mathsf{a_n= \dfrac{-(-3)\pm \sqrt{1.089} }{2\cdot1}= \dfrac{3\pm33}{2} }\begin{cases} \mathsf{(a_n)_1= \dfrac{3-33}{2}=-15 }\\\\ \mathsf{(a_n)_2= \dfrac{3+33}{2}=18 }\end{cases}$

Observe que a P.A. é decrescente, portanto:

$\Large\boxed{\mathsf{O~ultimo~termo~a_n=-15}}$

Tenha ótimos estudos ;P