Question

Gente, me ajudem, estou me confundindo toda com as fórmulas :s

1) Demonstre, usando as formulas da adição e subtração de arcos, que:
a) sen (pi - x) = sen x
b) (3pi/2 + x) = - cosx
c) cos (2pi + x) = cos x
d) tg (2pi - x) = - tg x

Answer 1

Vamos lá.

Tem-se:

a) sen(π-x) = sen(x)

Antes veja que sen(a-b) = sen(a).cos(b) - sen(b).cos(a).

Assim, tendo por base a relação acima, então a nossa expressão será:

sen(π-x) = sen(π).cos(x) - sen(x).cos(π)

Agora veja que π = 180º. E sen(180º) = 0; e cos(180º) = - 1. Assim, substituindo, teremos:

sen(π-x) = 0.cos(x) - sen(x).(-1) ----- desenvolvendo os produtos indicados, temos:

sen(π-x) =: 0 + sen(x) ---- ou apenas:
sen(π-x) = sen(x) <---- Pronto. Demonstramos o item "a".


b) sen(3π/2+ x) = - cos(x) ----- utilizando o mesmo método da questão anterior, temos:

sen(3π/2 + x) = sen(3π/2).cos(x) + sen(x).cos(3π/2)

Veja que 3π/2 = 270º. E sen(270º) = - 1; e cos(270º) = 0. Assim, ficaremos:

sen(3π/2 + x) = (-1).cos(x) + sen(x).0 ---- efetuando os produtos indicados, temos:

sen(3π/2 + x) = - cos(x) + 0 ---- ou apenas:
sen(3π/2 + x) = - cos(x)  <---- Pronto. Demonstramos o item "b".


c) cos(2π + x) = cos(x)

Veja que cos(a+b) = cos(a).cos(b) - sen(a).sen(b) .
Assim, tendo a relação acima como parâmetro, então:

cos(2π + x) = cos(2π).cos(x) - sen(2π).sen(x)

Note que 2π = 2*180º = 360º. E cos(360º) = 1 e sen(360º) = 0. Logo:

cos(2π + x) = 1.cos(x) - 0.sen(x) ----- efetuando os produtos indicados, temos:
cos(2π + x) = cos(x) + 0 --- ou apenas:
cos(2π + x) = cos(x) <---- Pronto. Demonstramos o item "c".


d) tg(2π-x) = - tg(x).

Veja que tg(a-b) = [tg(a) - tg(b)]/[1+tg(a).tg(b)]
Assim, tendo a relação acima como parâmetro, então:

tg(2π-x) = [tg(2π)-tg(x)] / [1+tg(2π).tg(x)]

Agora veja que 2π = 2*180º = 360º. E tg(360º) = 0 . Assim, ficaremos:

tg{2π-x) = [0 - tg(x)]/[1 + 0*tg(x)] ---- desenvolvendo, teremos:
tg(2π-x) = [- tg(x)] / [1 + 0]  ---- ou apenas:
tg(2π-x) = -tg(x) / 1  --- ou apenas:
tg(2π-x) = - tg(x)  <---- Pronto. Demonstramos o item "d".


Deu pra entender bem?

Ok?
Adjemir.