Question

Gente me ajudem, é questão sobre função do segundo grau. A figura abaixo mostra um retângulo de lados 7 cm e 8 cm no qual estão contidos os quadrados A. B e C. A medida x pode variar entre 3,5 cm e 7 cm. fazendo com que os lados dos três quadrados se alterem.


Dentro desse intervalo, o maior valor que a área do polígono P pode ter é igual a:

a) 18 cm²
b) 15 cm²
c) 17 cm²
d) 19 cm²
e) 16 cm²

Answer 1

$\mathsf{Ola\´~Milena,}$

$\mathsf{Vamos~organizar~as~informac\~oes~primeiro}\\\\\mathsf{Sabemos~que~o~ret\~angulo~onde~nele~esta\´~contido~4~poli\´gonos}$
$\mathsf{possui~dimenso\~es~de~8x7~ou~seja,~56~de~a\´rea}$

$\mathsf{A~a\´rea~desse~ret\~angulo~assim~como~as~do~demais~poli\´gonos}$
$\mathsf{esta\´~em~func\~ao~de~x}$

$\mathsf{Sabendo~disso~podemos~dizer~que~os~lados~do~quadrado~(B)}$
$\mathsf{e\´~de~(8-x),~ent\~ao~sua~a\´rea~sera\´~de~(8-x)^2}$

$\mathsf{Ja\´~o~quadrado~(C)~tera\´~o~lado~de~(7-x)~por~estar~no~lado~do~ret\~angulo}$
$\mathsf{onde~sua~dimens\~ao~e\´~de~7~cm}$

Com essas informações já podemos definir a área do polígono P

$\mathsf{A_a=a\´rea~do~quadrado~A}$
$\mathsf{A_b=a\´rea~do~quadrado~B}$
$\mathsf{A_c=a\´rea~do~quadrado~C}$
$\mathsf{A_p=a\´rea~do~poli\´gono~P}$

$\mathsf{A_p=56-[A_a+A_b+A_c]}\\\\\mathsf{A_a=x^2}\\\mathsf{A_b=(8-x)^2=64-8x-8x+x^2=x^2-16x+64}\\\mathsf{A_c=(7-x)^2=49-7x-7x+x^2=x^2-14x+49}\\\\\mathsf{Somando~as~a\´reas~temos:}$

$\mathsf{x^2+x^2-16x+64+x^2-14x+49=\boxed{3x^2-30x+113}}\\\mathsf{A_p=56-[A_a+A_b+A_c]}\\\mathsf{A_p=56-[3x^2-30x+113]}\\\mathsf{A_p=56-3x^2+30x-113}\\\mathsf{A_p=-3x^2+30x-57}\\\\\mathsf{Temos~agora~a~a\´rea~do~pol\´igono~P~em~uma~equac\~ao~quadrada.}$

$\mathsf{Como~e\´~uma~equac\~ao~quadra\´tica,~se~trata~de~uma}$
$\mathsf{para\´bola.~Veja~que~o~coeficiente~(a)~dessa~para\´bola~e\´~negativo}$

$\mathsf{a=-3}\\\\\mathsf{Quando~o~coeficiente~angular~(a)~de~uma~para\´bola~e\´~negativo,}$
$\mathsf{significa~que~ela~tera\´~valor~ma\´ximo~que~e\´~exatamente~o~que~queremos}$

$\mathsf{Queremos~que~a~a\´rea~de~P~seja\´~a~maior~possivel}$

$\mathsf{Ent\~ao~precisamos~achar~o~valor~de~x~onde~a~para\´bola~atingira\´~o~seu}$
$\mathsf{maior~valor~ou~seja,~seu~ve\´rtice}$

$\mathsf{Equac\~ao~do~ve\´rtice~da~para\´bola~e\´~xv=\frac{-b}{2a}}$

$\mathsf{xv=\frac{-(30)}{2.(-3)}}\\\\\mathsf{xv=\frac{30}{6}}\\\\\mathsf{\boxed{xv=5}}$

$\mathsf{Agora~so\´~substituir~na~equac\~ao~e~encontrar~a~a\´rea}$

$\mathsf{A_p=-3.(5)^2+30.5-57}\\\mathsf{A_p=-3.25+150-57}\\\mathsf{A_p=-75+93}\\\\\Large\boxed{\mathsf{A_p=18~cm^2}}\\\\\mathsf{Resposta~(a)}$

$\mathsf{Irei~adicionar~uma~imagem~para~elucidar~melhor~a~resposta}\\\\\\\mathsf{Boa~sorte~no~ENEM!}\\\\\\\mathsf{Se~tiver~du\´vidas~comente}$