Question

Gente me ajuda pfv Eu fiz o cálculo deu 0 ( zero) mas as alternativas não me atendem, a) 32 raiz de 2 b) 24 c) 8 d) 16 e) 32

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{a)~32\sqrt{2}}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para resolvermos este limite, existem diversas formas.

Podemos racionalizar o denominador ou aplicar a Regra de l'Hôpital.

Seja o limite da função racional $\underset{x\rightarrow c}{\lim}~\dfrac{f(x)}{g(x)}=L$. Se $f(x)$ e $g(x)$ são contínuas e deriváveis em $c$, a regra nos diz que $L=\underset{x\rightarrow c}{\lim}~\dfrac{f'(x)}{g'(x)}$. Utilizamos essa regra quando nos deparamos com as indeterminações $\dfrac{0}{0}$ ou $\dfrac{\infty}{\infty}$.

Então, temos que calcular o limite

$\underset{x\rightarrow 2}{\lim}~\dfrac{x^4-4x^2}{\sqrt{x}-\sqrt{2}}$

Aplique a regra, lembrando que

• A derivada de uma soma é igual a soma das derivadas, isto é: $(f(x)\pm g(x))'=f'(x)\pm g'(x)$.
• A derivada de uma potência é dada por $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$.
• A derivada do produto entre uma constante e uma função é dada por: $(a\cdot f(x))'=a\cdot f'(x)$.
• A derivada de uma constante é igual a zero.

Lembre-se que $\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$

$\underset{x\rightarrow 2}{\lim}~\dfrac{(x^4-4x^2)'}{(\sqrt{x}-\sqrt{2})'}=\underset{x\rightarrow 2}{\lim}~\dfrac{4x^3-8x}{\left(\dfrac{1}{2\sqrt{x}}}\right)$

Simplifique a fração

$\underset{x\rightarrow 2}{\lim}~(4x^3-8x)\cdot 2\sqrt{x}$

Multiplique os valores

$\underset{x\rightarrow 2}{\lim}~8x^3\sqrt{x}-16x\sqrt{x}$

Sabendo que $\underset{x\rightarrow c}{\lim}~f(x)=f(c)$, temos

$\underset{x\rightarrow 2}{\lim}~8x^3\sqrt{x}-16x\sqrt{x}=8\cdot 2^3\cdot \sqrt{2}-16\cdot 2\cdot \sqrt{2}$

Multiplique os valores

$64\sqrt{2}-32\sqrt{2}$

Subtraia os valores

$32\sqrt{2}$

Este é o resultado deste limite e a resposta contida na letra a).