Question

Gente me ajuda nesse trabalho pfvr

Answer 1

Pra resolver o 1, basta você entender o que é o fatorial. Por exemplo: 6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1.

Ou, nesse caso, poderíamos escrever:

6! = 6 x 5!

Ou 6! = 6 x 5 x 4!

Entende? Porque depois do "6" multiplicando, temos 5 x 4 x 3 x 2 x 1, que é exatamente 5! (5 fatorial), ou 6 x 5 x 4! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1

Da mesma forma, outros exemplos:

8! = 8 x 7 x 6 x 5!

9! = 9 x 8!

52! = 52 x 51 x 50!

Vamos então à resolução:

a) 5! / 4! =  (5 x 4 x 3 x 2 x 1) / (4 x 3 x 2 x 1) = (5 x 4!) / (4!) = 5

Percebe que corta?

b) 7! / 5! = (7 x 6 x 5!) / (5!) = 7 x 6 = 42

c) 5! / 7! = 5! / (7 x 6 x 5!) = 1 / (7 x 6) = 1/42

d) 12! / 15! = 12! / (15 x 14 x 13 x 12!) = 1 / (15 x 14 x 13) =  1/2730

e) 3! x 5! / (4! x 3!)

O 3 fatorial corta em cima com a parte de baixo direto, ficando:

5! / 4! = 5 x 4! / 4! = 5

f) 6! x 5! / (3! x 3!) = (6 x 5 x 4 x 3!) x (5 x 4 x 3!) / (3! x 3!)

Cortando os dois 3! em cima com os de baixo, temos:

(6 x 5 x 4) x (5 x 4) = 2400

g) 8! x 10! / (6! x 7!) = (8 x 7 x 6!) x (10 x 9 x 8 x 7!)

Cortando o 6! e 7! em cima e em baixo, temos:

8 x 7 x 10 x 9 x 8 = 40320

h) Agora temos com letras, mas funciona da mesma forma:

n! = n * (n - 1) * (n - 2)..

(n+2)! = (n+2)*(n+1)*n*(n-1)*(n-2).. (sempre vai diminuindo 1 a cada passo)

Percebe que para o (n+2)! poderíamos escrever: (n+2)! = (n+2)*(n+1)*n!

Então:

n! / (n+2)! = n! / { (n+2)*(n+1)*n! }

Cortando n! em cima e em baixo, temos:

1 / [ (n+2) * (n+1) ], que é a resposta final para essa simplificação.

i) Percebe que esse item é igual ao anterior, apenas com a fração ao contrário? Dessa forma, é lógico que a resposta será a mesma, mas ao contrário. Para poupar tempo, resposta final: (n+2)*(n+1)

j) (n+4)! / (n+3)! = [ (n+4) * (n+3)!] / (n+3)!

Cortando (n+3)!:

Resposta: (n+4)

k) n! / (n-1)! = [n * (n-1)!] / (n-1)!

Cortando (n-1)!:

Resposta: n

l) (n-1)! / (n-3)! = [ (n-1) * (n-2) * (n-3)! ] / (n-3)!

Cortando (n-3)!:

Resposta: (n-1)*(n-2)

Ou poderíamos abrir a multiplicação ("chuveirinho"), obtendo:

n² - 2n - n +2

= n² - 3n + 2

Para o exercício 2, não tem muito o que fazer, é continha mesmo. Dá pra calcular os valores que vamos usar, usando calculadora ou papel, pra depois facilitar as contas:

2! = 2 x 1 = 2

3! = 3 x 2 x 1 = 6

4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24

5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120

6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720

7! = 7 x 6! = 7 x 720 = 5040

9! = 9 x 8 x 7! = 9 x 8 x 5040 = 72 x 5040 = 362.880

Fazendo então as contas:

a) 3! x 2! = 6 x 2 = 12

b) 9! x 6! = 362880 x 720 = 261.273.600

c) 4! - 3! = 24 - 6 = 18

d) 7! / 4! = 7 x 6 x 5 x 4! / 4! = 7 x 6 x 5 = 42 x 5 = 210, ou diretamente 7! / 4! = 5040/24 = 210

e) 6! / 2! = 720 / 2 = 360

f) 3! - 5! = 6 - 120 = - 114

3)

a) (n+1) / n! = 8

Acredito que tenha um erro no enunciado, e era para ser (n+1)! em cima (faltou o "!").

Resolvendo como se tivesse o "!":

(n+1)!/n! = 8

(n+1) * n! / n! = 8

n + 1 = 8

n = 7

b) (n-1)! / n! = 2

(n-1)! / [ n*(n-1)!) = 2

1/n = 2

n = 1/2 = 0,5

c) (n-3)!/(n-2)! = 3

(n-3)! / [ (n-2) * (n-3)!) = 3

1 / (n-2) = 3

1/3 = n - 2

n = (1/3) + 2

fazendo mmc:

n = (1/3) + (6/3)

n = 7/3 = 2,333...

Ou outra forma: 1 / (n-2) = 3

1 = 3 * (n-2) = 3n - 6

1 = 3n - 6

3n = 7

n = 7/3 = 2,333...

d) Essa é um pouquinho mais complicada, vamos precisar pensar um pouco.

[ (n-1)! + (n+1)! ] / n! = 5

Vamos abrir a divisão em dois termos, para podermos trabalhar separadamente. Concorda que podemos fazer isso?

[ (n-1)! / n! ] + [ (n+1)! / n! ]  = 5

Agora fica mais fácil, pensando em cada termo separadamente, temos:

[ (n-1)! / n! ] = (n-1)! / [ n * (n-1)! ]  = 1/n

[ (n+1)! / n! ] = [ (n+1) * n! ] / n! = n+1

Retornando na equação, agora temos:

(1/n) + n + 1 = 5

(1/n) + n = 4

(1/n) + (n²/n) = 4

(1 + n²) / n = 4

1 + n² = 4n

n² - 4n + 1 = 0

Resolvendo a equação do 2º grau:

Δ =  b² - 4.a.c = 16 - 4*1*1 = 12

n = [-b +- raiz (delta) ] / 2a

n' = [4 + raiz(12)] / 2

n'' = [4 - raiz(12)] / 2

Ficou meio estranho, mas acredito que seja isso.

Espero ter ajudado!