Question

Gente me ajuda :)
Em pesquisa recente realizada por cientistas
brasileiros de uma universidade federal, comprovaram
que a ARIRANHA e o MICO-LEÃO-DOURADO são
espécies em extinção no Brasil. Com o objetivo de
preservar essas espécies, foram reunidos numa reserva
florestal 120 ariranhas e 80 micos-leões-dourados.
Constatou-se, após alguns anos, que o crescimento da
população de ariranhas foi 5% ao ano e que a população
de micos cresceu à taxa de 10% ao ano. Em quanto
tempo, aproximadamente, após a reunião desses animais
na reserva,o número de micos deve chegar ao dobro do
número de ariranhas?
(use log3 = 0,477 e log1,047 = 0,019)

gente a resposta da 25 anos Por que já olhei No livro kkk Mais não sei a resolução

Answer 1

Se você notar, essa questão lembra muito o conceito de juros compostos. Imagine que no caso das ariranhas, o valor inicial é 120 (M[0]).

Depois de 1 ano a população cresceu 5% (0,05). Logo:

$M[1] = 120 + 0,05 \cdot 120 = M[0] \cdot (1 + i)$

Após dois anos, a população será:

$M[2] = M[1] + 0,05 \cdot M[1] = M[0] \cdot (1 + i) + i \cdot (M[0] \cdot (1 + i))\\ M[2] = M[0] \cdot (1 + i) \cdot (1 + i) = M[0] \cdot (1 + i)^2$

Ou seja, a população de ariranhas ou mico-leão-dourado é dada por:

$M[t] = M[0] \cdot (1 + i)^t$

Onde: M[t] é o número de elementos da espécie após t anos;
M[0] é a quantidade inicial de elementos da espécie;
i é a taxa anual de aumento de elementos;
t é o tempo em anos.

Agora vamos começar a questão.

Eu vou chamar o número de ariranhas de X. O número de ariranhas, em função do tempo é escrita utilizando-se a fórmula acima:

$X[t] = X[0] \cdot (1 + i_{x})^t = 120 \cdot (1 + 0,05)^t = 120 \cdot (1,05)^t$

E vou chamar o número de micos de Y. O número de micos em função do tempo é dado utilizando-se a mesma expressão:

$Y[t] = Y[0] \cdot (1 + i_{y})^t = 80 \cdot ( 1 + 0,10)^t = 80 \cdot (1,1)^t$

Queremos saber após quantos anos o número de micos (Y[t]) será o dobro do número de ariranhas (X[t]). Isto é:

$Y[t] = 2 \cdot X[t]$

Para saber isso, substituímos Y[t] pela expressão calculada acima, bem como X[t]:

$80 \cdot (1,1)^t = 2 \cdot 120 \cdot (1,05)^t$

Precisamos calcular t. Primeiramente, passamos o 80 dividindo pro outro lado da equação e o $(1,05)^{t}$ também:

$\frac{(1,1)^t}{(1,05)^{t}} = \frac{240}{80}$

Uma propriedade matemática nos diz que:

$\frac{a^x}{b^x} = (\frac{a}{b})^{x}$

Ou seja:

$(\frac{1,1}{1,05})^t = \frac{240}{80}$

Agora simplificando dos dois lados da equação:

$(\frac{22}{21})^t = 3 \\ (1,047)^t = 3$

Para isolar o t, precisamos aplicar logaritmo na base (1,047) dos dois lados da equação:

$log_{(1,047)}[(1,047)^t] = log_{(1,047)}[3]$

Mas, de acordo com as propriedades de logaritmo:

$log_{a}[b^{c}] = c \cdot log_{a}[b] \quad e \quad log_{a}[a] = 1$

Com isso:

$log_{(1,047)}[(1,047)^t] = t \cdot log_{(1,047)}[1,047] = t \cdot 1 = t$

Então:

$t = log_{(1,047)}[3]$

O enunciado não nos informa quanto vale o logaritmo de 3 na base 1,047, mas, em compensação, ele diz quanto vale o logaritmo de 1,047 na base 10. Então precisamos fazer uma mudança de base:

$log_{a}[b] = \frac{log_{c}[b]}{log_{c}[a]}$

Ou seja:

$t = log_{1,047}[3] = \frac{log_{10}[3]}{log_{10}[1,047]}$

A parte do denominador, pelo enunciado, vale 0,019. Já o numerador vale 0,477. Assim:

$t = \frac{0,477}{0,019} = 25,1$ aproximadamente.

Ou seja, levaria 25 anos para isso acontecer.

Eu fiz bem detalhado, apenas para entender o passo-a-passo, mas no vestibular não precisa fazer tão detalhado assim.