Question

Gente mais uma: encontrar o produto das raízes da equação: ( toda a operação fica dentro do simbolo de √).
√1/x+3 - 1/x-3 = 8

não entendi a resposta, desculpe o que é corta?

Answer 1

$\sqrt{\dfrac{1}{x+3}-\dfrac{1}{x-3}}=8$


Reduza as frações de dentro da raiz quadrada ao mesmo denominador:

$\sqrt{\dfrac{x-3}{(x+3)(x-3)}-\dfrac{x+3}{(x+3)(x-3)}}=8\\\\\\ \sqrt{\dfrac{x-3-(x+3)}{(x+3)(x-3)}}=8\\\\\\ \sqrt{\dfrac{\diagup\!\!\!\! x-3-\diagup\!\!\!\! x-3}{(x+3)(x-3)}}=8\\\\\\ \sqrt{\dfrac{-6}{x^2-9}}=8\\\\\\ \sqrt{\dfrac{6}{9-x^2}}=8~~~~~~\mathbf{(i)}$


$\bullet\;\;$ Condição de existência desta equação:

O termo dentro da raiz quadrada não pode ser negativo. Para isso, o denominador deve ter o mesmo sinal do numerador:

$9-x^2>0\\\\ x^2<9\\\\ -3<x<3$

________

Vamos resolver a equação $\mathbf{(i)}.$ Elevando os dois lados ao quadrado, ficamos com

$\left(\!\sqrt{\dfrac{6}{9-x^2}}\, \right )^{\!\!2}=8^2\\\\\\ \dfrac{6}{9-x^2}=64\\\\\\ 6=64\cdot (9-x^2)\\\\ \diagup\!\!\!\! 2\cdot 3=\diagup\!\!\!\! 2\cdot 32\cdot (9-x^2)\\\\ 3=32\cdot (9-x^2)$

$3=288-32x^2\\\\ 32x^2=288-3\\\\ 32x^2=285\\\\ x^2=\dfrac{285}{32}\\\\\\ x=\pm \sqrt{\dfrac{285}{32}}\\\\\\ \begin{array}{rcl} x=\sqrt{\dfrac{285}{32}}&~\text{ ou }~&x=-\sqrt{\dfrac{285}{32}} \end{array}$


As raízes da equação são

$\begin{array}{rcl} x_1=\sqrt{\dfrac{285}{32}}&~\text{ e }~&x_2=-\sqrt{\dfrac{285}{32}} \end{array}$


que satisfazem a condição de existência (estão entre – 3 e 3)

_________

O produto das raízes é

$x_1\cdot x_2\\\\ =\sqrt{\dfrac{285}{32}}\cdot \left(\!-\sqrt{\dfrac{285}{32}}\,\right )\\\\\\ =\boxed{\begin{array}{c}-\,\dfrac{285}{32} \end{array}}$


Bons estudos! :-)