Question

Gente essa é a última pergunta!
E pra entregar amanhã valendo nota!
Alguém ajuda!?

Pergunta!
Calcule os seguintes limites.

Answer 1

Pretendemos calcular:
$\lim\limits_{h\to 0} \dfrac{\int\limits_2^{2+h} \sqrt{1+x^3} \textrm{ d}x}{h}$

Seja $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ a função dada por $f(t) = \int\limits_2^t \sqrt{1+x^3} \textrm{ d}x$. Notamos agora que a derivada de $f$ no ponto $t=2$ é definida pela expressão:
$f'(2) = \lim\limits_{h\to 0} \dfrac{f(2+h) - \underbrace{f(2)}_{0}}{h} = \lim\limits_{h\to 0} \dfrac{\int\limits_2^{2+h} \sqrt{1+x^3} \textrm{ d}x}{h}$

Assim, o limite em causa é igual a $f'(2)$. Pelo teorema fundamental do cálculo, tem-se:
$f'(t) = \left(\int\limits_2^t \sqrt{1+x^3} \textrm{ d}x \right)' = \sqrt{1+t^3}$

Assim, o limite é igual a:
$f'(2) = \sqrt{1 + 2^3} = \sqrt{9} = 3$