Question

gente da uma força nessa questão fiquei com duvida, a materia é geometria analitica, projeção de vetores.

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Answer 1

Vai analisar o desenho pra encontrar essas coordenadas que vou escrever, é mais pra me localizar ^^

$\begin{Bmatrix}A(4,0,0)\\B(4,6,0)\\C(0,6,0)\\D(4,-1,3)\\E(4,5,3)\\F(0,5,3)\\G(0,-1,3)\\O(0,0,0)\end{matrix}$

$\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{CF}+\overrightarrow{DE}$

Escrevendo de forma analítica

$(O-A)+(F-C)+(E-D)$

substituindo os valores

$(0,0,0)-(4,0,0)+(0,5,3)-(0,6,0)+(4,5,3)-(4,-1,3)$

$\boxed{\boxed{\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{CF}+\overrightarrow{DE}=(-4,5,3)}}$

$\overrightarrow{AD}-(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AO})$

Analogamente com o de cima

$(D-A)-[(B-A)+(O-A)]$

$D-A-B+A-O+A$

$D-B+A$

$\boxed{\boxed{\overrightarrow{AD}-(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AO})=(4,-7,3)}}$

Para encontrarmos os ângulo entre o vetor e a reta

$cos(\theta)=\frac{\overrightarrow{OG}\cdot\^j}{||\overrightarrow{OG}||*||\^j||}$

$cos(\theta)=\frac{(0,-1,3)\cdot(0,1,0)}{\sqrt{(-1)^2+3^2}}$

$\boxed{\boxed{cos(\theta)=\frac{-1}{\sqrt{10}}\approx108,4\º}}$

O ângulo é obtuso pois ele se encontra no plano YZ no segundo quadrante, uma vez que os ângulos são medidos do primeiro quadrante.

Pra gente encontrar o módulo de $\overrightarrow{EH}$ temos que fazer o seguinte:

$||\overrightarrow{EH}||=\sqrt{||\overrightarrow{AE}||^2+||Proj_{_{\overrightarrow{AB}}}\overrightarrow{AE}||^2}$

Essa projeção temos:

$Proj_{_{\overrightarrow{AB}}}\overrightarrow{AE}=\frac{\overrightarrow{AE}\cdot\overrightarrow{AB}}{||\overrightarrow{AB}||^2}*\overrightarrow{AB}$

$Proj_{_{\overrightarrow{AB}}}\overrightarrow{AE}=\frac{30}{36}*(0,6,0)$

$Proj_{_{\overrightarrow{AB}}}\overrightarrow{AE}=\frac{5}{6}*(0,6,0)$

$\boxed{Proj_{_{\overrightarrow{AB}}}\overrightarrow{AE}=(0,5,0)}$

$||\overrightarrow{EH}||=\sqrt{(25+9)+25}$

$\boxed{\boxed{||\overrightarrow{EH}||=\sqrt{59}}}$

Para calcular a área

$A=||\overrightarrow{OC}\times\overrightarrow{OG}||$

$\overrightarrow{OC}\times\overrightarrow{OG}=\overrightarrow{n}$

$\overrightarrow{n}=\begin{vmatrix}\^i&\^j&\^k\\0&6&0\\0&-1&3\end{vmatrix}$

$\overrightarrow{n}=18\^i=(18,0,0)$

$A=\sqrt{18^2}$

$\boxed{\boxed{A=18~u.a.}}$

Agora para calcular o volume

$V=(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OG})$

$V=\begin{vmatrix}4&0&0\\4&6&0\\0&-1&3\end{vmatrix}$

$\boxed{\boxed{V=72~u.v.}}$